기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 60, 53, 13, 40, 12.
n = 5
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 50, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 57.5보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 50σ = 5x = 57.5
P =
3.확률보통
14명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.
n = 14k = 4
N =
4.확률어려움
부품 6개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.25로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?
n = 6p = 0.25
P =
5.정규분포보통
표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.5763이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.
A = 0.5763
z =
6.정규분포어려움
구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.신뢰구간보통
항목 12개의 표본 평균은 107.5, 표준편차는 s = 10.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.
n = 12x̄ = 107.5s = 10.590%t(11) = 1.796
E =
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 12입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 12E = 1.590%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 25명 표본의 평균 점수는 43.8, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 50x̄ = 43.8s = 10n = 25
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 3단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 30이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.
α = 0.05검정력 = 80%δ = 3σ = 30zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5Σx = 120Σy = 492Σx² = 2970Σy² = 51054Σxy = 12291
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 96을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
n = 5ŷ = 96
x =
3용액
1.기술통계
답: s = 22.28
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 178/5 = 35.6
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 24.4² + 17.4² + (−22.6)² + 4.4² + (−23.6)² = 1985
표준편차
s = √(1985/4) = 22.28
답
s = 22.28
2.기술통계
답: P = 0.9332
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 1.5
표준정규분포표
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
답
P = 0.9332
3.확률
답: N = 1001
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
조합
C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001
답
N = 1001
4.확률
답: P = 0.5339
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
고장 0개와 1개
P(X = 0) = 0.756 = 0.178
P(X = 1) = 6·0.25·0.755 = 0.356
더하기
P = 0.178 + 0.356 = 0.5339
답
P = 0.5339
5.정규분포
답: z = 0.8
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
z의 왼쪽 넓이
Φ(z) = (1 + 0.5763)/2 = 0.7881
z-표를 거꾸로 읽기
표 안에서 0.7881을 찾아 z를 읽으세요.
z = 0.80
답
z = 0.80
6.정규분포
답: P = 0.9099
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
차의 분포
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm
표준화하기
z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34
확률
P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099
답
P = 0.9099
7.신뢰구간
답: E = 5.444
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 11, t = 1.796
오차 한계
E = 1.796·10.5/√12 = 5.444
답
E = 5.444
8.신뢰구간
답: n = 174
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.645·12/1.5)² = 173.2
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 174
답
n = 174
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −3.1
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
검정통계량
t = (43.8 − 50)/2 = −3.1
답
t = −3.1
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 619
검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = ((1.645 + 0.842)·30/3)² = 618.5
올림하기
n = 619
답
n = 619
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9907
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 12291 − 120·492/5 = 483
Sxx = 2970 − 120²/5 = 90
Syy = 51054 − 492²/5 = 2641
상관계수
r = 483/√(90·2641) = 0.9907
답
r = 0.9907
12.선형 회귀와 상관
답: x = 21.95
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 399/5 = 79.8
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220
회귀직선
b = 220/40 = 5.5
a = 79.8 − 5.5·19 = −24.7
ŷ = −24.7 + 5.5·x
x 구하기
x = (96 − (−24.7))/5.5 = 21.95
답
x = 21.95
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