기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 45, 44, 54, 34, 39, 31.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 74보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 12x = 74

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.15, 0.3, 0.35

σ =

4.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 2X + 20입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.1, 0.25, 0.25, 0.25Y = 2X + 20

σ_Y =

5.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 55.5에서 73 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 55.5x₂ = 73

P =

6.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 25%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

7.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 28, 표준편차는 s = 15입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 11x̄ = 28s = 1599%t(10) = 3.169

E =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 23입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 23E = 1.599%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 60개 표본의 평균 길이는 148.5 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 16 mm이다. 라인 2: 부품 50개 표본의 평균은 157.4 mm, 알려진 표준 편차는 14 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 60x̄₁ = 148.5 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 50x̄₂ = 157.4 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 120명 중 66명, 치료 B를 받은 환자 120명 중 50명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 66n₁ = 120x₂ = 50n₂ = 120

z =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 5.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 5.5

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 8.329

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 247/6 = 41.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 3.833² + 2.833² + 12.83² + (−7.167)² + (−2.167)² + (−10.17)² = 346.8

표준편차

s = √(346.8/5) = 8.329

답

s = 8.329

2.기술통계

답: P = 0.9772

표준화하기

z = 2

표준정규분포표

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

답

P = 0.9772

3.확률

답: σ = 2.245

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.2 + 2·0.15 + 4·0.3 + 6·0.35 = 3.6

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.15 + 16·0.3 + 36·0.35 = 18

분산

Var(X) = 18 − 3.6² = 5.04

σ = √5.04 = 2.245

답

σ = 2.245

4.확률

답: σ_Y = 2.704

X의 퍼짐

μ = 3.35, Var(X) = 1.828, σ_X = 1.352

일차 변환

σ_Y = |2|·1.352 = 2.704

답

σ_Y = 2.704

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·3.35 + 20 = 26.7.

5.정규분포

답: P = 0.6171

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95

z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8

사이의 넓이

P = Φ(0.8) − Φ(−0.95) = 0.7881 − 0.1711 = 0.6171

답

P = 0.6171

6.정규분포

답: x = 473 h

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.25

표에서 구한 z

z ≈ −0.67

원래 단위로 되돌리기

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

답

x = 473 h

7.신뢰구간

답: E = 14.33

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 3.169

오차 한계

E = 3.169·15/√11 = 14.33

답

E = 14.33

8.신뢰구간

답: n = 1561

n에 대해 풀기

n = (2.576·23/1.5)² = 1560

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1561

답

n = 1561

9.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −3.111

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(16²/60 + 14²/50) = √8.187 = 2.861

검정통계량

z = (148.5 − 157.4)/2.861 = −3.111

답

z = −3.111

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 2.067

표본 비율

p̂₁ = 66/120 = 0.55

p̂₂ = 50/120 = 0.4167

p̂ = 116/240 = 0.4833

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.4833·0.5167·(1/120 + 1/120)) = 0.06451

검정통계량

z = (0.55 − 0.4167)/0.06451 = 2.067

답

z = 2.067

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9841

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 363/5 = 72.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1295

상관계수

r = 224/√(40·1295) = 0.9841

답

r = 0.9841

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 72

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 432/6 = 72

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

회귀직선

b = 96/17.5 = 5.486

a = 72 − 5.486·5.5 = 41.83

ŷ = 41.83 + 5.486·x

예측

ŷ = 41.83 + 5.486·5.5 = 72

답

ŷ = 72

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