기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균
x̄ = Σx/n
표본 표준편차
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값
정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수
z = (x − μ)/σ
정규분포
±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건
P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때
x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기
n = (z·σ/E)², rounded up

방법

  1. z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
  2. 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
  3. 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
  4. 구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정
|z| > 1.96이면 H0 기각
신뢰구간
x̄ ± z·σ/√n

방법

  1. H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
  2. 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
  3. 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
  4. 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기
b = Sxy/Sxx
절편
a = ȳ − b·x̄
상관계수
r = Sxy/√(SxxSyy)
잔차
e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통
303540455055

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 39, 59, 39, 29, 59, 31, 44.

n = 7
s =
2.기술통계어려움
z −2−1012

시험 점수는 평균 170, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 140점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 20x = 140
z =
3.확률보통
xp(x)00.310.3520.35μ = 1.05

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
4.확률어려움
n = 9, p = 0.2: P(X = 3) = ?k0123456789

어떤 시험에 객관식 문제가 9개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.2로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.2k = 3
P =
5.정규분포보통
96 kg97.1 kgT = X₁ + … + X₈?

상자의 질량은 독립이며 평균 12 kg, 표준편차 0.8 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 8개의 총 질량이 97.1 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 8> 97.1 kg
P =
6.정규분포어려움
0.02 mm0D − d?

구멍 지름 D는 평균 25.02 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.신뢰구간보통
n = 21, s = 19.5LU = ?x̄ = 106E90%

항목 21개의 표본 평균은 106, 표준편차는 s = 19.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 21x̄ = 106s = 19.590%t(20) = 1.725
상한 =
8.신뢰구간어려움
n = 16σ = ?Us = 8.895%

기계 가공한 축 16개의 지름의 표본 표준 편차는 8.8 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 15에서 χ² 분포의 2.5%는 6.262 아래에, 2.5%는 27.488 위에 있다.

n = 16s = 8.8 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
t −2.0302.03

학생 36명 표본의 평균 점수는 197.9, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 197.9s = 4n = 36
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
μ₀x̄c

H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 10로 알려져 있다. 실제 평균은 46.8이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 50μ = 46.8σ = 10n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.선형 회귀와 상관보통
xy15036257377898611103xy5106080100

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 36Σy = 452Σx² = 286Σy² = 35762Σxy = 3054
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
xy140246353459567xy2440506070ŷ = 56

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 56을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 56
x =

3용액

1.기술통계

답: s = 12.14

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 300/7 = 42.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−3.857)² + 16.14² + (−3.857)² + (−13.86)² + 16.14² + (−11.86)² + 1.143² = 884.9

표준편차

s = √(884.9/6) = 12.14

답

s = 12.14
2.기술통계

답: z = −1.5

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

표준화하기

z = (140 − 170)/20 = −1.5

답

z = −1.5
3.확률

답: Var(X) = 0.6475

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

분산

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

답

Var(X) = 0.6475
4.확률

답: P = 0.1762

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 3) = 84·0.23·0.86 = 84·0.008·0.2621 = 0.1762

답

P = 0.1762
5.정규분포

답: P = 0.3121

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μT = 96 kg, σT = 0.8·√8 = 2.263 kg

표준화하기

z = (97.1 − 96)/2.263 = 0.49

확률

P = 1 − Φ(0.49) = 0.3121

답

P = 0.3121
6.정규분포

답: P = 0.9207

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01414 mm

표준화하기

z = (0 − 0.02)/0.01414 = −1.41

확률

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

답

P = 0.9207
7.신뢰구간

답: 상한 = 113.3

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 1.725

오차 한계

E = 1.725·19.5/√21 = 7.34

구간

106 ± 7.34 → [98.66, 113.3]

답

상한 = 113.3
8.신뢰구간

답: σ = 6.501 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 15·8.8² = 1162

σ²의 한계

1162/27.488 = 42.26
1162/6.262 = 185.5

σ의 한계

σ = √42.26 = 6.501 µm

답

σ = 6.501 µm

σ의 95% 구간: [6.501, 13.62] µm.

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.15

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

검정통계량

t = (197.9 − 200)/0.6667 = −3.15

답

t = −3.15
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| > 2.03이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 94 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 10/√100 = 1
x̄c = 50 − 1.645·1 = 48.35

참 평균에서의 z

z = (48.35 − 46.8)/1 = 1.555

전력

검정력 = P(Z < 1.555) = 94%
1 − β = 94%

답

1 − β = 94%
11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9881

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

Sxy = 3054 − 36·452/6 = 342
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 35762 − 452²/6 = 1711

상관계수

r = 342/√(70·1711) = 0.9881

답

r = 0.9881
12.선형 회귀와 상관

답: x = 3.448

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 265/5 = 53

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67

회귀직선

b = 67/10 = 6.7
a = 53 − 6.7·3 = 32.9
ŷ = 32.9 + 6.7·x

x 구하기

x = (56 − 32.9)/6.7 = 3.448

답

x = 3.448

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