기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 50, 27, 31, 47, 23.
n = 5
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 70, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 82보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 70σ = 20x = 82
P =
3.확률보통
14명 중에서 3명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.
n = 14k = 3
N =
4.확률어려움
어떤 시험에 객관식 문제가 12개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.2로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?
n = 12p = 0.2k = 4
P =
5.정규분포보통
표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9292이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.
A = 0.9292
z =
6.정규분포어려움
배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
7.신뢰구간보통
항목 20개의 표본 평균은 116, 표준편차는 s = 2.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하세요.
n = 20x̄ = 116s = 2.590%t(19) = 1.729
하한 =
8.신뢰구간어려움
기계 가공한 축 16개의 지름의 표본 표준 편차는 2.1 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 15에서 χ² 분포의 2.5%는 6.262 아래에, 2.5%는 27.488 위에 있다.
n = 16s = 2.1 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 60개 표본의 평균 길이는 77.5 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 17 mm이다. 라인 2: 부품 50개 표본의 평균은 74.6 mm, 알려진 표준 편차는 17 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.
n₁ = 60x̄₁ = 77.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 50x̄₂ = 74.6 mmσ₂ = 17 mm
z =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 2.5단위 이동을 검정력 95%로 검출해야 한다. 표준 편차는 7이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.
α = 0.05검정력 = 95%δ = 2.5σ = 7zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.
n = 6
r² =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 11일 때 ŷ을(를) 예측하세요.
n = 6x = 11
ŷ =
3용액
1.기술통계
답: s = 12.16
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 178/5 = 35.6
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 14.4² + (−8.6)² + (−4.6)² + 11.4² + (−12.6)² = 591.2
표준편차
s = √(591.2/4) = 12.16
답
s = 12.16
2.기술통계
답: P = 0.2743
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 0.6
표준정규분포표
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
답
P = 0.2743
3.확률
답: N = 364
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
조합
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
답
N = 364
4.확률
답: P = 0.1329
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
이항분포 공식
P(X = 4) = 495·0.24·0.88 = 495·0.0016·0.1678 = 0.1329
답
P = 0.1329
5.정규분포
답: z = −1.47
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
z의 왼쪽 넓이
Φ(z) = 1 − 0.9292 = 0.0708
z-표를 거꾸로 읽기
표 안에서 0.0708을 찾아 z를 읽으세요.
z = −1.47
답
z = −1.47
6.정규분포
답: x = 22.13 min
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
다시 x로
x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min
답
x = 22.13 min
7.신뢰구간
답: 하한 = 115
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 19, t = 1.729
오차 한계
E = 1.729·2.5/√20 = 0.9665
구간
116 ± 0.9665 → [115, 117]
답
하한 = 115
8.신뢰구간
답: σ = 3.25 µm
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
제곱합
(n − 1)s² = 15·2.1² = 66.15
σ²의 한계
66.15/27.488 = 2.407
66.15/6.262 = 10.56
σ의 한계
σ = √10.56 = 3.25 µm
답
σ = 3.25 µm
σ의 95% 구간: [1.551, 3.25] µm.
9.가설 검정과 신뢰구간
답: z = 0.8909
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
차의 표준 오차
SE = √(17²/60 + 17²/50) = √10.6 = 3.255
검정통계량
z = (77.5 − 74.6)/3.255 = 0.8909
답
z = 0.8909
|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 85
검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = ((1.645 + 1.645)·7/2.5)² = 84.86
올림하기
n = 85
답
n = 85
11.선형 회귀와 상관
답: r² = 0.8555
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 140/6 = 23.33
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Syy = Σ(y − ȳ)² = 35.33
결정계수
r² = −23²/(17.5·35.33) = 0.8555
답
r² = 0.8555
y의 변동 중 약 85.55%가 직선으로 설명됩니다.
12.선형 회귀와 상관
답: ŷ = 33.56
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 129/6 = 21.5
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211
회귀직선
b = 211/70 = 3.014
a = 21.5 − 3.014·7 = 0.4
ŷ = 0.4 + 3.014·x
예측
ŷ = 0.4 + 3.014·11 = 33.56
답
ŷ = 33.56
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