기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 53, 35, 47, 48, 53, 13, 20.
n = 7
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 170, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 155보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 170σ = 10x = 155
P =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.3, 0.25, 0.25
Var(X) =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.15로 €12을, 확률 0.02로 €30을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €3€12: p = 0.15€30: p = 0.02
E(G) = €
5.정규분포보통
표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.0668이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.
A = 0.0668
z =
6.정규분포어려움
봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 75%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.
μ = 250 gσ = 5 g75%
x = g
7.신뢰구간보통
항목 6개의 표본 평균은 17.5, 표준편차는 s = 15입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.
n = 6x̄ = 17.5s = 1595%t(5) = 2.571
E =
8.신뢰구간어려움
기계 가공한 축 25개의 지름의 표본 표준 편차는 2.8 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 24에서 χ² 분포의 2.5%는 12.401 아래에, 2.5%는 39.364 위에 있다.
n = 25s = 2.8 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 100명 표본의 평균 점수는 100.8, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 100x̄ = 100.8s = 5n = 100
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 90%로 검출해야 한다. 표준 편차는 28이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.
α = 0.05검정력 = 90%δ = 5σ = 28zα = 1.645zβ = 1.282
n =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.
n = 5
r² =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 18.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.
n = 5x = 18.5
ŷ =
3용액
1.기술통계
답: s = 16.27
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 269/7 = 38.43
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 14.57² + (−3.429)² + 8.571² + 9.571² + 14.57² + (−25.43)² + (−18.43)² = 1588
표준편차
s = √(1588/6) = 16.27
답
s = 16.27
2.기술통계
답: P = 0.9332
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = −1.5
표준정규분포표
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
답
P = 0.9332
3.확률
답: Var(X) = 114.8
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 10·0.2 + 20·0.3 + 30·0.25 + 40·0.25 = 25.5
제곱의 평균
E(X²) = 100·0.2 + 400·0.3 + 900·0.25 + 1600·0.25 = 765
분산
Var(X) = 765 − 25.5² = 114.8
답
Var(X) = 114.8
4.확률
답: E(G) = −0.6 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 9 (p = 0.15), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.83)
기댓값
E(G) = 9·0.15 + 27·0.02 − 3·0.83 = −0.6 €
답
E(G) = −0.6 €
음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: z = 1.5
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
z의 왼쪽 넓이
Φ(z) = 1 − 0.0668 = 0.9332
z-표를 거꾸로 읽기
표 안에서 0.9332을 찾아 z를 읽으세요.
z = 1.50
답
z = 1.50
6.정규분포
답: x = 253.4 g
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
왼쪽 넓이
Φ(z) = 0.75
표에서 구한 z
z ≈ 0.67
원래 단위로 되돌리기
x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g
답
x = 253.4 g
7.신뢰구간
답: E = 15.74
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 5, t = 2.571
오차 한계
E = 2.571·15/√6 = 15.74
답
E = 15.74
8.신뢰구간
답: σ = 3.895 µm
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
제곱합
(n − 1)s² = 24·2.8² = 188.2
σ²의 한계
188.2/39.364 = 4.78
188.2/12.401 = 15.17
σ의 한계
σ = √15.17 = 3.895 µm
답
σ = 3.895 µm
σ의 95% 구간: [2.186, 3.895] µm.
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 1.6
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
검정통계량
t = (100.8 − 100)/0.5 = 1.6
답
t = 1.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 269
검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = ((1.645 + 1.282)·28/5)² = 268.7
올림하기
n = 269
답
n = 269
11.선형 회귀와 상관
답: r² = 0.9839
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 368/5 = 73.6
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1665
결정계수
r² = 256²/(40·1665) = 0.9839
답
r² = 0.9839
y의 변동 중 약 98.39%가 직선으로 설명됩니다.
12.선형 회귀와 상관
답: ŷ = 82
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 443/5 = 88.6
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396
회귀직선
b = 396/90 = 4.4
a = 88.6 − 4.4·20 = 0.6
ŷ = 0.6 + 4.4·x
예측
ŷ = 0.6 + 4.4·18.5 = 82
답
ŷ = 82
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