기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 41, 13, 20, 54, 43, 14.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 75인 정규분포를 따릅니다. 350보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 75x = 350

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.35, 0.2, 0.25

σ =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 5개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.25로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.25k = 4

P =

5.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 166.8에서 188.85 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 166.8x₂ = 188.85

P =

6.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

7.신뢰구간보통

관측값 25개와 알려진 σ에 근거한 평균의 99% 신뢰구간의 오차 한계는 4이다. 관측값 100개에 근거한 95% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

99%n₁ = 25E₁ = 495%n₂ = 100

E₂ =

8.신뢰구간어려움

불량품 비율에 대해서는 사전에 알려진 것이 없다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.03이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p = 0.5E = 0.0395%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 107.2, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 107.2s = 15n = 25

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 500.3입니다. 모표준편차는 4입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 500.3σ = 4n = 4995%

U =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (23.5, 110)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(23.5, 110)

e =

3용액

1.기술통계

답: s = 17.36

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 185/6 = 30.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 10.17² + (−17.83)² + (−10.83)² + 23.17² + 12.17² + (−16.83)² = 1507

표준편차

s = √(1507/5) = 17.36

답

s = 17.36

2.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

답

P = 0.02275

3.확률

답: σ = 2.145

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.2 + 2·0.35 + 4·0.2 + 6·0.25 = 3

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.35 + 16·0.2 + 36·0.25 = 13.6

분산

Var(X) = 13.6 − 3² = 4.6

σ = √4.6 = 2.145

답

σ = 2.145

4.확률

답: P = 0.01465

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 4) = 5·0.25⁴·0.75¹ = 5·0.003906·0.75 = 0.01465

답

P = 0.01465

5.정규분포

답: P = 0.8846

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6

z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55

사이의 넓이

P = Φ(1.55) − Φ(−1.6) = 0.9394 − 0.0548 = 0.8846

답

P = 0.8846

6.정규분포

답: x = 182.7 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm

답

x = 182.72 cm

7.신뢰구간

답: E₂ = 1.522

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/100) = 0.3804

새 오차 한계

E₂ = 4·0.3804 = 1.522

답

E₂ = 1.522

8.신뢰구간

답: n = 1068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.96²·0.5·0.5/0.03² = 1067

올림하기

n = 1068

답

n = 1068

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.4

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

검정통계량

t = (107.2 − 100)/3 = 2.4

답

t = 2.4

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 501.4

오차 한계

E = 1.96·4/√49 = 1.12

구간 끝값

U = 500.3 + 1.12 = 501.4

답

U = 501.4

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9812

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 50/5 = 10

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 158

상관계수

r = 78/√(40·158) = 0.9812

답

r = 0.9812

12.선형 회귀와 상관

답: e = 4.05

평균

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 491/5 = 98.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 465

회귀직선

b = 465/90 = 5.167

a = 98.2 − 5.167·22 = −15.47

ŷ = −15.47 + 5.167·x

예측값

ŷ = −15.47 + 5.167·23.5 = 106

잔차

e = 110 − 106 = 4.05

답

e = 4.05

점이 직선 위쪽에 있습니다.

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