기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 46, 31, 57, 42, 58.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 54보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 5x = 54

P =

3.확률보통

11명 중에서 5명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 5

N =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.2로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.2k = 4

P =

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.7887이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7887

z =

6.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 15%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점15%

x = 점

7.신뢰구간보통

항목 10개의 표본 평균은 82.5, 표준편차는 s = 17입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 10x̄ = 82.5s = 1790%t(9) = 1.833

E =

8.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 5개 구획, 평균 수확량 88.5 kg, 표준 편차 6 kg. 구획 집단 2: 12개 구획, 평균 85.5 kg, 표준 편차 8 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 5x̄₁ = 88.5s₁ = 6n₂ = 12x̄₂ = 85.5s₂ = 899%t(15) = 2.947

E = kg

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 102.7, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 102.7s = 8n = 49

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 3단위 이동을 검정력 90%로 검출해야 한다. 표준 편차는 24이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.05검정력 = 90%δ = 3σ = 24z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 72을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 72

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 11.21

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 234/5 = 46.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−0.8)² + (−15.8)² + 10.2² + (−4.8)² + 11.2² = 502.8

표준편차

s = √(502.8/4) = 11.21

답

s = 11.21

2.기술통계

답: P = 0.1151

표준화하기

z = −1.2

표준정규분포표

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

답

P = 0.1151

3.확률

답: N = 462

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462

답

N = 462

4.확률

답: P = 0.04588

이항분포 공식

P(X = 4) = 70·0.2⁴·0.8⁴ = 70·0.0016·0.4096 = 0.04588

답

P = 0.04588

5.정규분포

답: z = 1.25

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.7887)/2 = 0.8944

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8944을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.25

답

z = 1.25

6.정규분포

답: x = 75.4 점

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.85

표에서 구한 z

z ≈ 1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 65 + 1.04·10 = 75.4 점

답

x = 75.4 점

7.신뢰구간

답: E = 9.854

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 9, t = 1.833

오차 한계

E = 1.833·17/√10 = 9.854

답

E = 9.854

8.신뢰구간

답: E = 11.79 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (4·6² + 11·8²)/15 = 56.53

s_p = 7.519

오차 한계

E = 2.947·7.519·√(1/5 + 1/12) = 11.79

답

E = 11.79 kg

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.363

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

검정통계량

t = (102.7 − 100)/1.143 = 2.363

답

t = 2.363

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 549

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((1.645 + 1.282)·24/3)² = 548.3

올림하기

n = 549

답

n = 549

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.959

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 289/5 = 57.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 338.8

결정계수

r² = 57²/(10·338.8) = 0.959

답

r² = 0.959

y의 변동 중 약 95.9%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: x = 7.136

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 428/6 = 71.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 344

회귀직선

b = 344/70 = 4.914

a = 71.33 − 4.914·7 = 36.93

ŷ = 36.93 + 4.914·x

x 구하기

x = (72 − 36.93)/4.914 = 7.136

답

x = 7.136

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