기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 14, 15, 40, 26, 27, 10, 57.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 80보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 10x = 80

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

σ =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 7개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.1로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 7p = 0.1k = 2

P =

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.6368이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6368

z =

6.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 60%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

7.신뢰구간보통

항목 9개의 표본 평균은 43, 표준편차는 s = 4입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 9x̄ = 43s = 490%t(8) = 1.86

하한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 37입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 37E = 0.595%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 9명, 평균 점수 22, 표준 편차 7. 집단 2: 학생 12명, 평균 점수 26.8, 표준 편차 7.5. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 9x̄₁ = 22s₁ = 7n₂ = 12x̄₂ = 26.8s₂ = 7.5

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 100명 중 15명, 치료 B를 받은 환자 120명 중 4명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 15n₁ = 100x₂ = 4n₂ = 120

z =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (10, 84)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(10, 84)

e =

3용액

1.기술통계

답: s = 16.69

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 189/7 = 27

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−13)² + (−12)² + 13² + (−1)² + 0² + (−17)² + 30² = 1672

표준편차

s = √(1672/6) = 16.69

답

s = 16.69

2.기술통계

답: P = 0.9772

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

답

P = 0.9772

3.확률

답: σ = 0.8047

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

분산

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

답

σ = 0.8047

4.확률

답: P = 0.124

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 2) = 21·0.1²·0.9⁵ = 21·0.01·0.5905 = 0.124

답

P = 0.124

5.정규분포

답: z = −0.35

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.6368 = 0.3632

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.3632을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.35

답

z = −0.35

6.정규분포

답: x = 490 h

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.4

표에서 구한 z

z ≈ −0.25

원래 단위로 되돌리기

x = 500 − 0.25·40 = 490 h

답

x = 490 h

7.신뢰구간

답: 하한 = 40.52

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 8, t = 1.86

오차 한계

E = 1.86·4/√9 = 2.48

구간

43 ± 2.48 → [40.52, 45.48]

답

하한 = 40.52

8.신뢰구간

답: n = 21037

n에 대해 풀기

n = (1.96·37/0.5)² = 21037

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 21037

답

n = 21037

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (8·7² + 11·7.5²)/19 = 53.2

s_p = 7.294

표준오차

SE = 7.294·√(1/9 + 1/12) = 3.216

검정통계량

t = (22 − 26.8)/3.216 = −1.492

답

t = −1.492

df = 19에서 양측 5% 임곗값은 2.093입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 3.067

표본 비율

p̂₁ = 15/100 = 0.15

p̂₂ = 4/120 = 0.03333

p̂ = 19/220 = 0.08636

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.08636·0.9136·(1/100 + 1/120)) = 0.03803

검정통계량

z = (0.15 − 0.03333)/0.03803 = 3.067

답

z = 3.067

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9224

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 351/6 = 58.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 105.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 689.5

결정계수

r² = 105.5²/(17.5·689.5) = 0.9224

답

r² = 0.9224

y의 변동 중 약 92.24%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: e = −3.75

평균

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 372/5 = 74.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

회귀직선

b = 178/40 = 4.45

a = 74.4 − 4.45·7 = 43.25

ŷ = 43.25 + 4.45·x

예측값

ŷ = 43.25 + 4.45·10 = 87.75

잔차

e = 84 − 87.75 = −3.75

답

e = −3.75

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1