기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 11, 58, 26, 26, 10, 28, 14.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 410보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 60x = 410

P =

3.확률보통

9명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 9k = 4

N =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.3로 €10을, 확률 0.05로 €20을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€10: p = 0.3€20: p = 0.05

E(G) = €

5.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 60.5에서 73.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 60.5x₂ = 73.5

P =

6.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.신뢰구간보통

항목 30개의 표본 평균은 82.5, 표준편차는 s = 6.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 30x̄ = 82.5s = 6.595%t(29) = 2.045

하한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 9입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 9E = 190%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 80이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 25로 알려져 있다. 관측값 100개의 확률 표본의 평균은 85.4이다. H₀: μ = 80 대 H₁: μ > 80을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 80σ = 25n = 100x̄ = 85.4H₁: μ > μ₀

p =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 2단위 이동을 검정력 90%로 검출해야 한다. 표준 편차는 15이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 90%δ = 2σ = 15z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 15.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 15.5

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 16.54

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 173/7 = 24.71

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−13.71)² + 33.29² + 1.286² + 1.286² + (−14.71)² + 3.286² + (−10.71)² = 1641

표준편차

s = √(1641/6) = 16.54

답

s = 16.54

2.기술통계

답: P = 0.06681

표준화하기

z = −1.5

표준정규분포표

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

답

P = 0.06681

3.확률

답: N = 126

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

답

N = 126

4.확률

답: E(G) = 2 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 8 (p = 0.3), 18 (p = 0.05), −2 (p = 0.65)

기댓값

E(G) = 8·0.3 + 18·0.05 − 2·0.65 = 2 €

답

E(G) = 2 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.476

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (60.5 − 65)/10 = −0.45

z₂ = (73.5 − 65)/10 = 0.85

사이의 넓이

P = Φ(0.85) − Φ(−0.45) = 0.8023 − 0.3264 = 0.476

답

P = 0.476

6.정규분포

답: x = 466.3 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

답

x = 466.34 h

7.신뢰구간

답: 하한 = 80.07

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 29, t = 2.045

오차 한계

E = 2.045·6.5/√30 = 2.427

구간

82.5 ± 2.427 → [80.07, 84.93]

답

하한 = 80.07

8.신뢰구간

답: n = 220

n에 대해 풀기

n = (1.645·9/1)² = 219.2

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 220

답

n = 220

9.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.01539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 25/√100 = 2.5

z = (85.4 − 80)/2.5 = 2.16

꼬리 면적

Φ(2.16) = 0.9846

1 − Φ(2.16) = 0.0154

p값

p = 0.01539

답

p = 0.01539

p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 733

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 1.282)·15/2)² = 732.2

올림하기

n = 733

답

n = 733

11.선형 회귀와 상관

답: r = −0.8874

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 149/6 = 24.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 24.83

상관계수

r = −18.5/√(17.5·24.83) = −0.8874

답

r = −0.8874

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 40.95

평균

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 300/5 = 60

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381

회귀직선

b = 381/90 = 4.233

a = 60 − 4.233·20 = −24.67

ŷ = −24.67 + 4.233·x

예측

ŷ = −24.67 + 4.233·15.5 = 40.95

답

ŷ = 40.95

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