기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 58, 48, 56, 54, 52.
n = 5
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 575보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 500σ = 60x = 575
P =
3.확률보통
공정한 주사위를 4번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?
n = 4
P =
4.확률어려움
어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.1로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?
n = 10p = 0.1k = 3
P =
5.정규분포보통
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 60에서 75.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 75.5
P =
6.정규분포어려움
봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 10%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.
μ = 250 gσ = 5 g10%
x = g
7.신뢰구간보통
항목 10개의 표본 평균은 92.5, 표준편차는 s = 1.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.
n = 10x̄ = 92.5s = 1.595%t(9) = 2.262
E =
8.신뢰구간어려움
두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 16개 구획, 평균 수확량 94.5 kg, 표준 편차 10 kg. 구획 집단 2: 15개 구획, 평균 93.5 kg, 표준 편차 3.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하시오.
n₁ = 16x̄₁ = 94.5s₁ = 10n₂ = 15x̄₂ = 93.5s₂ = 3.595%t(29) = 2.045
하한 = kg
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 16명 표본의 평균 점수는 87, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 75x̄ = 87s = 20n = 16
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 4단위 이동을 검정력 95%로 검출해야 한다. 표준 편차는 8이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.
α = 0.01검정력 = 95%δ = 4σ = 8zα = 2.326zβ = 1.645
n =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5Σx = 20Σy = 297Σx² = 90Σy² = 17875Σxy = 1232
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (9, 35)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(9, 35)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 3.847
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 268/5 = 53.6
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 4.4² + (−5.6)² + 2.4² + 0.4² + (−1.6)² = 59.2
표준편차
s = √(59.2/4) = 3.847
답
s = 3.847
2.기술통계
답: P = 0.8944
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 1.25
표준정규분포표
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
답
P = 0.8944
3.확률
답: P = 0.5177
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
여사건
P(6이 안 나옴) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
답
P = 0.5177
4.확률
답: P = 0.0574
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
이항분포 공식
P(X = 3) = 120·0.13·0.97 = 120·0.001·0.4783 = 0.0574
답
P = 0.0574
5.정규분포
답: P = 0.5446
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (60 − 65)/10 = −0.5
z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05
사이의 넓이
P = Φ(1.05) − Φ(−0.5) = 0.8531 − 0.3085 = 0.5446
답
P = 0.5446
6.정규분포
답: x = 243.6 g
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
왼쪽 넓이
Φ(z) = 0.1
표에서 구한 z
z ≈ −1.28
원래 단위로 되돌리기
x = 250 − 1.28·5 = 243.6 g
답
x = 243.6 g
7.신뢰구간
답: E = 1.073
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 9, t = 2.262
오차 한계
E = 2.262·1.5/√10 = 1.073
답
E = 1.073
8.신뢰구간
답: 하한 = −4.58 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
합동 표준 편차
sp² = (15·10² + 14·3.5²)/29 = 57.64
sp = 7.592
오차 한계
E = 2.045·7.592·√(1/16 + 1/15) = 5.58
구간
1 ± 5.58 → [−4.58, 6.58]
답
하한 = −4.58 kg
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 2.4
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
검정통계량
t = (87 − 75)/5 = 2.4
답
t = 2.4
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 64
검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = ((2.326 + 1.645)·8/4)² = 63.08
올림하기
n = 64
답
n = 64
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9111
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 1232 − 20·297/5 = 44
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 17875 − 297²/5 = 233.2
상관계수
r = 44/√(10·233.2) = 0.9111
답
r = 0.9111
12.선형 회귀와 상관
답: e = 5.448
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 142/6 = 23.67
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206
회귀직선
b = 206/70 = 2.943
a = 23.67 − 2.943·7 = 3.067
ŷ = 3.067 + 2.943·x
예측값
ŷ = 3.067 + 2.943·9 = 29.55
잔차
e = 35 − 29.55 = 5.448
답
e = 5.448
점이 직선 위쪽에 있습니다.
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