기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 22, 40, 44, 60, 37, 31, 17.
n = 7
s =
2.기술통계어려움
시험 점수는 평균 60, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 63.2점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 60σ = 8x = 63.2
z =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.1, 0.1, 0.35
Var(X) =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.25로 €15을, 확률 0.01로 €60을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €3€15: p = 0.25€60: p = 0.01
E(G) = €
5.정규분포보통
배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 25.1에서 42.8 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 32σ = 6x1 = 25.1x2 = 42.8
P =
6.정규분포어려움
IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 25%가 그 아래에 있는 값 x(25 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 100σ = 15P = 25%
x = 점
7.신뢰구간보통
환자 8명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 5.4, 표준 편차는 5.9이다. 평균 차이에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.
n = 8d̄ = 5.4sd = 5.990%t(7) = 1.895
상한 = mmHg
8.신뢰구간어려움
불량품 비율에 대해서는 사전에 알려진 것이 없다. 비율에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.02이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?
p = 0.5E = 0.0290%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 64명 표본의 평균 점수는 78, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 75x̄ = 78s = 10n = 64
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
측정값 64개의 표본 평균은 75.1입니다. 모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.
x̄ = 75.1σ = 10n = 6499%
U =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 6Σx = 33Σy = 220Σx² = 199Σy² = 8248Σxy = 1262
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3.5, 58)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 5(3.5, 58)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 14.37
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 251/7 = 35.86
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = (−13.86)² + 4.143² + 8.143² + 24.14² + 1.143² + (−4.857)² + (−18.86)² = 1239
표준편차
s = √(1239/6) = 14.37
답
s = 14.37
2.기술통계
답: z = 0.4
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (63.2 − 60)/8 = 0.4
답
z = 0.4
3.확률
답: Var(X) = 3
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.1 + 4·0.1 + 5·0.35 = 3
제곱의 평균
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.1 + 16·0.1 + 25·0.35 = 12
분산
Var(X) = 12 − 3² = 3
답
Var(X) = 3
4.확률
답: E(G) = 1.35 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 12 (p = 0.25), 57 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)
기댓값
E(G) = 12·0.25 + 57·0.01 − 3·0.74 = 1.35 €
답
E(G) = 1.35 €
양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: P = 0.839
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (25.1 − 32)/6 = −1.15
z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8
사이의 넓이
P = Φ(1.8) − Φ(−1.15) = 0.9641 − 0.1251 = 0.839
답
P = 0.839
6.정규분포
답: x = 89.88 점
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
다시 x로
x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 점
답
x = 89.88 점
7.신뢰구간
답: 상한 = 9.353 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
임계값
df = 7, t = 1.895
오차 한계
E = 1.895·5.9/√8 = 3.953
구간
5.4 ± 3.953 → [1.447, 9.353]
답
상한 = 9.353 mmHg
8.신뢰구간
답: n = 1692
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n에 대해 풀기
n = 1.645²·0.5·0.5/0.02² = 1691
올림하기
n = 1692
답
n = 1692
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 2.4
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25
검정통계량
t = (78 − 75)/1.25 = 2.4
답
t = 2.4
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: U = 78.32
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
오차 한계
E = 2.576·10/√64 = 3.22
구간 끝값
U = 75.1 + 3.22 = 78.32
답
U = 78.32
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9231
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 1262 − 33·220/6 = 52
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 8248 − 220²/6 = 181.3
상관계수
r = 52/√(17.5·181.3) = 0.9231
답
r = 0.9231
12.선형 회귀와 상관
답: e = 4.4
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 278/5 = 55.6
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40
회귀직선
b = 40/10 = 4
a = 55.6 − 4·4 = 39.6
ŷ = 39.6 + 4·x
예측값
ŷ = 39.6 + 4·3.5 = 53.6
잔차
e = 58 − 53.6 = 4.4
답
e = 4.4
점이 직선 위쪽에 있습니다.
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