기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 43, 14, 40, 17, 41, 25.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 57.2보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 12x = 57.2

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.25, 0.25, 0.05, 0.35

σ =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €1이 듭니다. 확률 0.15로 €5을, 확률 0.02로 €20을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €1€5: p = 0.15€20: p = 0.02

E(G) = €

5.정규분포보통

볼트의 질량은 독립이며 평균 40 g, 표준편차 1.2 g인 정규분포를 따릅니다. 그중 16개의 총 질량이 632.8 g을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16> 632.8 g

P =

6.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.05 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 18.5, 표준편차는 s = 13.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 21x̄ = 18.5s = 13.590%t(20) = 1.725

하한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 5E = 0.595%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 114.6, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 114.6s = 15n = 25

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 5입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 5E = 190%

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 25Σy = 281Σx² = 135Σy² = 15895Σxy = 1431

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 20.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 20.5

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 12.96

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 180/6 = 30

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 13² + (−16)² + 10² + (−13)² + 11² + (−5)² = 840

표준편차

s = √(840/5) = 12.96

답

s = 12.96

2.기술통계

답: P = 0.7257

표준화하기

z = 0.6

표준정규분포표

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

답

P = 0.7257

3.확률

답: σ = 1.418

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.1 + 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.05 + 4·0.35 = 2.3

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.05 + 16·0.35 = 7.3

분산

Var(X) = 7.3 − 2.3² = 2.01

σ = √2.01 = 1.418

답

σ = 1.418

4.확률

답: E(G) = 0.15 €

순 결과

G: 4 (p = 0.15), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.83)

기댓값

E(G) = 4·0.15 + 19·0.02 − 1·0.83 = 0.15 €

답

E(G) = 0.15 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.9332

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 640 g, σ_T = 1.2·√16 = 4.8 g

표준화하기

z = (632.8 − 640)/4.8 = −1.5

확률

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

답

P = 0.9332

6.정규분포

답: P = 0.9772

차의 분포

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm

표준화하기

z = (0 − 0.05)/0.025 = −2

확률

P = 1 − Φ(−2) = 0.9772

답

P = 0.9772

7.신뢰구간

답: 하한 = 13.42

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 1.725

오차 한계

E = 1.725·13.5/√21 = 5.082

구간

18.5 ± 5.082 → [13.42, 23.58]

답

하한 = 13.42

8.신뢰구간

답: n = 385

n에 대해 풀기

n = (1.96·5/0.5)² = 384.2

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 385

답

n = 385

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

검정통계량

t = (114.6 − 120)/3 = −1.8

답

t = −1.8

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 68

n에 대해 풀기

n = (1.645·5/1)² = 67.65

올림하기

n = 68

답

n = 68

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.8109

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1431 − 25·281/5 = 26

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 15895 − 281²/5 = 102.8

상관계수

r = 26/√(10·102.8) = 0.8109

답

r = 0.8109

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 46.5

평균

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 259/5 = 51.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318

회귀직선

b = 318/90 = 3.533

a = 51.8 − 3.533·22 = −25.93

ŷ = −25.93 + 3.533·x

예측

ŷ = −25.93 + 3.533·20.5 = 46.5

답

ŷ = 46.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1