기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 13, 21, 26, 11, 54, 42, 31.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 45보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 10x = 45

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.1, 0.3, 0.3

σ =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.25로 €12을, 확률 0.01로 €150을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€12: p = 0.25€150: p = 0.01

E(G) = €

5.정규분포보통

X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 28.3 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28.3 min

P =

6.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 30대, 평균 55 h, 알려진 표준 편차 19 h. 모델 2: 휴대전화 50대, 평균 67.5 h, 알려진 표준 편차 14 h. μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 30x̄₁ = 55 hσ₁ = 19 hn₂ = 50x̄₂ = 67.5 hσ₂ = 14 h95%

하한 = h

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 10E = 2.599%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 8명, 평균 점수 94.5, 표준 편차 6.5. 집단 2: 학생 14명, 평균 점수 88.5, 표준 편차 3. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 8x̄₁ = 94.5s₁ = 6.5n₂ = 14x̄₂ = 88.5s₂ = 3

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 11이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 80%δ = 5σ = 11z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5, 38)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(5, 38)

e =

3용액

1.기술통계

답: s = 15.53

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 198/7 = 28.29

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−15.29)² + (−7.286)² + (−2.286)² + (−17.29)² + 25.71² + 13.71² + 2.714² = 1447

표준편차

s = √(1447/6) = 15.53

답

s = 15.53

2.기술통계

답: P = 0.3085

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

답

P = 0.3085

3.확률

답: σ = 1.2

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.3 = 1.6

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.1 + 4·0.3 + 9·0.3 = 4

분산

Var(X) = 4 − 1.6² = 1.44

σ = √1.44 = 1.2

답

σ = 1.2

4.확률

답: E(G) = 1.5 €

순 결과

G: 9 (p = 0.25), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)

기댓값

E(G) = 9·0.25 + 147·0.01 − 3·0.74 = 1.5 €

답

E(G) = 1.5 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.9306

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

표준화하기

z = (28.3 − 32)/2.5 = −1.48

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(−1.48) = 1 − 0.06944 = 0.9306

답

P = 0.9306

6.정규분포

답: P = 0.7881

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

7.신뢰구간

답: 하한 = −20.33 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 55 − 67.5 = −12.5

표준오차

SE = √(19²/30 + 14²/50) = 3.994

오차 한계

E = 1.96·3.994 = 7.829

구간

−12.5 ± 7.829 → [−20.33, −4.671]

답

하한 = −20.33 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

8.신뢰구간

답: n = 107

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (2.576·10/2.5)² = 106.2

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 107

답

n = 107

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.98

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (7·6.5² + 13·3²)/20 = 20.64

s_p = 4.543

표준오차

SE = 4.543·√(1/8 + 1/14) = 2.013

검정통계량

t = (94.5 − 88.5)/2.013 = 2.98

답

t = 2.98

df = 20에서 양측 5% 임곗값은 2.086입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 49

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 0.842)·11/5)² = 48.58

올림하기

n = 49

답

n = 49

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9928

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 96.8

결정계수

r² = −31²/(10·96.8) = 0.9928

답

r² = 0.9928

y의 변동 중 약 99.28%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: e = −5.05

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 235/5 = 47

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

회귀직선

b = 158/40 = 3.95

a = 47 − 3.95·6 = 23.3

ŷ = 23.3 + 3.95·x

예측값

ŷ = 23.3 + 3.95·5 = 43.05

잔차

e = 38 − 43.05 = −5.05

답

e = −5.05

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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