기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 37, 32, 55, 39, 36, 26.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 40인 정규분포를 따릅니다. 468점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 40x = 468

z =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.15, 0.35, 0.25, 0.1

σ =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.25로 €6을, 확률 0.02로 €30을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€6: p = 0.25€30: p = 0.02

E(G) = €

5.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 247.5에서 260 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 247.5x₂ = 260

P =

6.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 41, 표준편차는 s = 12.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 21x̄ = 41s = 12.599%t(20) = 2.845

상한 =

8.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 6개 구획, 평균 수확량 97.5 kg, 표준 편차 9 kg. 구획 집단 2: 8개 구획, 평균 86 kg, 표준 편차 7 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 6x̄₁ = 97.5s₁ = 9n₂ = 8x̄₂ = 86s₂ = 799%t(12) = 3.055

하한 = kg

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 50.84, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 50.84s = 4n = 100

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 0.590%

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 5.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 5.5

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 9.731

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 225/6 = 37.5

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−0.5)² + (−5.5)² + 17.5² + 1.5² + (−1.5)² + (−11.5)² = 473.5

표준편차

s = √(473.5/5) = 9.731

답

s = 9.731

2.기술통계

답: z = −0.8

표준화하기

z = (468 − 500)/40 = −0.8

답

z = −0.8

3.확률

답: σ = 1.183

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.15 + 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.1 = 2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.1 = 5.4

분산

Var(X) = 5.4 − 2² = 1.4

σ = √1.4 = 1.183

답

σ = 1.183

4.확률

답: E(G) = −0.9 €

순 결과

G: 3 (p = 0.25), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.73)

기댓값

E(G) = 3·0.25 + 27·0.02 − 3·0.73 = −0.9 €

답

E(G) = −0.9 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.6687

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (247.5 − 250)/5 = −0.5

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

사이의 넓이

P = Φ(2) − Φ(−0.5) = 0.9772 − 0.3085 = 0.6687

답

P = 0.6687

6.정규분포

답: x = 189.5 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 178 + 1.645·7 = 189.51 cm

답

x = 189.51 cm

7.신뢰구간

답: 상한 = 48.76

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 2.845

오차 한계

E = 2.845·12.5/√21 = 7.76

구간

41 ± 7.76 → [33.24, 48.76]

답

상한 = 48.76

8.신뢰구간

답: 하한 = −1.526 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (5·9² + 7·7²)/12 = 62.33

s_p = 7.895

오차 한계

E = 3.055·7.895·√(1/6 + 1/8) = 13.03

구간

11.5 ± 13.03 → [−1.526, 24.53]

답

하한 = −1.526 kg

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

검정통계량

t = (50.84 − 50)/0.4 = 2.1

답

t = 2.1

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 4330

n에 대해 풀기

n = (1.645·20/0.5)² = 4330

올림하기

n = 4330

답

n = 4330

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.991

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 414/6 = 69

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 406

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2398

상관계수

r = 406/√(70·2398) = 0.991

답

r = 0.991

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 62.5

평균

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 275/5 = 55

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

회귀직선

b = 50/10 = 5

a = 55 − 5·4 = 35

ŷ = 35 + 5·x

예측

ŷ = 35 + 5·5.5 = 62.5

답

ŷ = 62.5

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