기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 25, 10, 16, 23, 24, 48.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 82.5점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 10x = 82.5

z =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.2, 0.15, 0.2, 0.2

σ =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €5이 듭니다. 확률 0.15로 €10을, 확률 0.01로 €50을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €5€10: p = 0.15€50: p = 0.01

E(G) = €

5.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 26.3에서 37.1 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 26.3x₂ = 37.1

P =

6.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 20%

x = 점

7.신뢰구간보통

환자 6명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 2.6, 표준 편차는 6.6이다. 평균 차이에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n = 6d̄ = 2.6s_d = 6.690%t(5) = 2.015

하한 = mmHg

8.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 5개 구획, 평균 수확량 57 kg, 표준 편차 1 kg. 구획 집단 2: 16개 구획, 평균 48.5 kg, 표준 편차 2.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 5x̄₁ = 57s₁ = 1n₂ = 16x̄₂ = 48.5s₂ = 2.595%t(19) = 2.093

상한 = kg

9.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 7명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 5.67, 차이의 표준 편차는 7.9이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 7d̄ = 5.67s_d = 7.9

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 500 대 H₁: μ > 500의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 24로 알려져 있다. 실제 평균은 508.4이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 500μ = 508.4σ = 24n = 64α = 0.01

β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 33Σy = 313Σx² = 199Σy² = 16987Σxy = 1826

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (17, 96)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(17, 96)

e =

3용액

1.기술통계

답: s = 12.94

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 146/6 = 24.33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 0.6667² + (−14.33)² + (−8.333)² + (−1.333)² + (−0.3333)² + 23.67² = 837.3

표준편차

s = √(837.3/5) = 12.94

답

s = 12.94

2.기술통계

답: z = 1.25

표준화하기

z = (82.5 − 70)/10 = 1.25

답

z = 1.25

3.확률

답: σ = 1.48

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.15 + 4·0.2 + 5·0.2 = 2.9

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.15 + 16·0.2 + 25·0.2 = 10.6

분산

Var(X) = 10.6 − 2.9² = 2.19

σ = √2.19 = 1.48

답

σ = 1.48

4.확률

답: E(G) = −3 €

순 결과

G: 5 (p = 0.15), 45 (p = 0.01), −5 (p = 0.84)

기댓값

E(G) = 5·0.15 + 45·0.01 − 5·0.84 = −3 €

답

E(G) = −3 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.6313

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (26.3 − 32)/6 = −0.95

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

사이의 넓이

P = Φ(0.85) − Φ(−0.95) = 0.8023 − 0.1711 = 0.6313

답

P = 0.6313

6.정규분포

답: x = 87.38 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 점

답

x = 87.38 점

7.신뢰구간

답: 하한 = −2.829 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

임계값

df = 5, t = 2.015

오차 한계

E = 2.015·6.6/√6 = 5.429

구간

2.6 ± 5.429 → [−2.829, 8.029]

답

하한 = −2.829 mmHg

8.신뢰구간

답: 상한 = 10.93 kg

합동 표준 편차

s_p² = (4·1² + 15·2.5²)/19 = 5.145

s_p = 2.268

오차 한계

E = 2.093·2.268·√(1/5 + 1/16) = 2.432

구간

8.5 ± 2.432 → [6.068, 10.93]

답

상한 = 10.93 kg

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.899

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 7.9/√7 = 2.986

검정통계량

t = 5.67/2.986 = 1.899

답

t = 1.899

df = 6에서 양측 5% 임곗값은 2.447입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: β = 31.77 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 500 + 2.326·3 = 507

참 평균에서의 z

z = (507 − 508.4)/3 = −0.474

제2종 오류

검정력 = P(Z > −0.474) = 68.23%

β = 100% − 68.23% = 31.77%

답

β = 31.77%

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9732

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1826 − 33·313/6 = 104.5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 16987 − 313²/6 = 658.8

상관계수

r = 104.5/√(17.5·658.8) = 0.9732

답

r = 0.9732

12.선형 회귀와 상관

답: e = 3.338

평균

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 701/6 = 116.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423

회귀직선

b = 423/70 = 6.043

a = 116.8 − 6.043·21 = −10.07

ŷ = −10.07 + 6.043·x

예측값

ŷ = −10.07 + 6.043·17 = 92.66

잔차

e = 96 − 92.66 = 3.338

답

e = 3.338

점이 직선 위쪽에 있습니다.

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