기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 34, 19, 57, 44, 44, 18.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 82보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 15x = 82

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.15, 0.1, 0.2, 0.35

Var(X) =

4.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 2X + 20입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.3, 0.15, 0.35Y = 2X + 20

σ_Y =

5.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 20에서 43.1 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 43.1

P =

6.정규분포어려움

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 전체의 97.5%가 그 아래에 있는 값 x(97.5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 250σ = 5P = 97.5%

x = g

7.신뢰구간보통

항목 13개의 표본 평균은 17, 표준편차는 s = 18.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 13x̄ = 17s = 18.595%t(12) = 2.179

E =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 16입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 16E = 599%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 203.9, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 203.9s = 12n = 81

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 1.5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 11이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 80%δ = 1.5σ = 11z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 16일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 16

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 15.4

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 216/6 = 36

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−17)² + 21² + 8² + 8² + (−18)² = 1186

표준편차

s = √(1186/5) = 15.4

답

s = 15.4

2.기술통계

답: P = 0.1151

표준화하기

z = −1.2

표준정규분포표

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

답

P = 0.1151

3.확률

답: Var(X) = 2.428

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.2 + 2·0.15 + 3·0.1 + 4·0.2 + 5·0.35 = 3.35

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.15 + 9·0.1 + 16·0.2 + 25·0.35 = 13.65

분산

Var(X) = 13.65 − 3.35² = 2.428

답

Var(X) = 2.428

4.확률

답: σ_Y = 2.304

X의 퍼짐

μ = 1.65, Var(X) = 1.328, σ_X = 1.152

일차 변환

σ_Y = |2|·1.152 = 2.304

답

σ_Y = 2.304

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·1.65 + 20 = 23.3.

5.정규분포

답: P = 0.9451

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (43.1 − 32)/6 = 1.85

사이의 넓이

P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451

답

P = 0.9451

6.정규분포

답: x = 259.8 g

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

다시 x로

x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g

답

x = 259.8 g

7.신뢰구간

답: E = 11.18

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 12, t = 2.179

오차 한계

E = 2.179·18.5/√13 = 11.18

답

E = 11.18

8.신뢰구간

답: n = 68

n에 대해 풀기

n = (2.576·16/5)² = 67.95

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 68

답

n = 68

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.925

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

검정통계량

t = (203.9 − 200)/1.333 = 2.925

답

t = 2.925

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 540

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 0.842)·11/1.5)² = 539.7

올림하기

n = 540

답

n = 540

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.964

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 519/6 = 86.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1154

결정계수

r² = 279²/(70·1154) = 0.964

답

r² = 0.964

y의 변동 중 약 96.4%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 51.4

평균

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 317/5 = 63.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

회귀직선

b = 160/40 = 4

a = 63.4 − 4·19 = −12.6

ŷ = −12.6 + 4·x

예측

ŷ = −12.6 + 4·16 = 51.4

답

ŷ = 51.4

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