기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 38, 20, 34, 18, 53, 50, 27.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 40인 정규분포를 따릅니다. 480보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 40x = 480

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.3, 0.3

Var(X) =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.2로 €10을, 확률 0.05로 €40을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€10: p = 0.2€40: p = 0.05

E(G) = €

5.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 62.5에서 67.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 67.5

P =

6.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 10%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점10%

x = 점

7.신뢰구간보통

항목 16개의 표본 평균은 78.5, 표준편차는 s = 4.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 16x̄ = 78.5s = 4.590%t(15) = 1.753

상한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 23입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 23E = 0.595%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 11명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 1.85, 차이의 표준 편차는 1.8이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 11d̄ = 1.85s_d = 1.8

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 81개의 표본 평균은 48.7입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 48.7σ = 15n = 8195%

U =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5, 6)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(5, 6)

e =

3용액

1.기술통계

답: s = 13.74

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 240/7 = 34.29

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 3.714² + (−14.29)² + (−0.2857)² + (−16.29)² + 18.71² + 15.71² + (−7.286)² = 1133

표준편차

s = √(1133/6) = 13.74

답

s = 13.74

2.기술통계

답: P = 0.6915

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

답

P = 0.6915

3.확률

답: Var(X) = 1.087

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.75

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.65

분산

Var(X) = 8.65 − 2.75² = 1.087

답

Var(X) = 1.087

4.확률

답: E(G) = 2 €

순 결과

G: 8 (p = 0.2), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.75)

기댓값

E(G) = 8·0.2 + 38·0.05 − 2·0.75 = 2 €

답

E(G) = 2 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.1974

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (67.5 − 65)/10 = 0.25

사이의 넓이

P = Φ(0.25) − Φ(−0.25) = 0.5987 − 0.4013 = 0.1974

답

P = 0.1974

6.정규분포

답: x = 80.8 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.1

표에서 구한 z

z ≈ −1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 점

답

x = 80.8 점

7.신뢰구간

답: 상한 = 80.47

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 15, t = 1.753

오차 한계

E = 1.753·4.5/√16 = 1.972

구간

78.5 ± 1.972 → [76.53, 80.47]

답

상한 = 80.47

8.신뢰구간

답: n = 8129

n에 대해 풀기

n = (1.96·23/0.5)² = 8129

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 8129

답

n = 8129

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 3.409

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 1.8/√11 = 0.5427

검정통계량

t = 1.85/0.5427 = 3.409

답

t = 3.409

df = 10에서 양측 5% 임곗값은 2.228입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 51.97

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.96·15/√81 = 3.267

구간 끝값

U = 48.7 + 3.267 = 51.97

답

U = 51.97

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.8475

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 128/5 = 25.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 47.2

결정계수

r² = −20²/(10·47.2) = 0.8475

답

r² = 0.8475

y의 변동 중 약 84.75%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: e = −4.471

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 87/6 = 14.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 141

회귀직선

b = 141/70 = 2.014

a = 14.5 − 2.014·7 = 0.4

ŷ = 0.4 + 2.014·x

예측값

ŷ = 0.4 + 2.014·5 = 10.47

잔차

e = 6 − 10.47 = −4.471

답

e = −4.471

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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