기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 26, 11, 60, 15, 13, 30, 18.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 195보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 20x = 195

P =

3.확률보통

7명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 7k = 4

N =

4.확률어려움

부품 5개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.5로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.5

P =

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.6844이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6844

z =

6.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 25%가 그 아래에 있는 값 x(25 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

7.신뢰구간보통

항목 20개의 표본 평균은 31.5, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 20x̄ = 31.5s = 16.590%t(19) = 1.729

하한 =

8.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.2이(가) 불량이다. 비율에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.05이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.2E = 0.0599%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 120이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 10로 알려져 있다. 관측값 100개의 확률 표본의 평균은 118.28이다. H₀: μ = 120 대 H₁: μ < 120을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 120σ = 10n = 100x̄ = 118.28H₁: μ < μ₀

p =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 80 대 H₁: μ > 80의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 12로 알려져 있다. 실제 평균은 81.8이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 80μ = 81.8σ = 12n = 64α = 0.05

1 − β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 109을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 109

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 17.03

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 173/7 = 24.71

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 1.286² + (−13.71)² + 35.29² + (−9.714)² + (−11.71)² + 5.286² + (−6.714)² = 1739

표준편차

s = √(1739/6) = 17.03

답

s = 17.03

2.기술통계

답: P = 0.1056

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056

3.확률

답: N = 35

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

답

N = 35

4.확률

답: P = 0.1875

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.5⁵ = 0.03125

P(X = 1) = 5·0.5·0.5⁴ = 0.1563

더하기

P = 0.03125 + 0.1563 = 0.1875

답

P = 0.1875

5.정규분포

답: z = −0.48

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.6844 = 0.3156

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.3156을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.48

답

z = −0.48

6.정규분포

답: x = 473 h

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

다시 x로

x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h

답

x = 473.02 h

7.신뢰구간

답: 하한 = 25.12

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 19, t = 1.729

오차 한계

E = 1.729·16.5/√20 = 6.379

구간

31.5 ± 6.379 → [25.12, 37.88]

답

하한 = 25.12

8.신뢰구간

답: n = 425

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 2.576²·0.2·0.8/0.05² = 424.7

올림하기

n = 425

답

n = 425

9.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.04272

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (118.28 − 120)/1 = −1.72

꼬리 면적

Φ(1.72) = 0.9573

1 − Φ(1.72) = 0.0427

p값

p = 0.04272

답

p = 0.04272

p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 32.82 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 12/√64 = 1.5

x̄_c = 80 + 1.645·1.5 = 82.47

참 평균에서의 z

z = (82.47 − 81.8)/1.5 = 0.445

전력

검정력 = P(Z > 0.445) = 32.82%

1 − β = 32.82%

답

1 − β = 32.82%

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9968

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 378/6 = 63

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 308

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1364

상관계수

r = 308/√(70·1364) = 0.9968

답

r = 0.9968

12.선형 회귀와 상관

답: x = 9.065

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 427/5 = 85.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 308

회귀직선

b = 308/40 = 7.7

a = 85.4 − 7.7·6 = 39.2

ŷ = 39.2 + 7.7·x

x 구하기

x = (109 − 39.2)/7.7 = 9.065

답

x = 9.065

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