기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 37, 27, 31, 28, 29, 36, 18.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 75인 정규분포를 따릅니다. 350보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 75x = 350

P =

3.확률보통

11명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 4

N =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 6개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.4로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.4k = 5

P =

5.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 422에서 508 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 508

P =

6.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 10%가 그 아래에 있는 값 x(10 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 10%

x = 점

7.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 114, 표준편차는 s = 14.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 8x̄ = 114s = 14.590%t(7) = 1.895

상한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 13입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 13E = 1.599%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 16명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 4.08, 차이의 표준 편차는 5.1이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 16d̄ = 4.08s_d = 5.1

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 80명 중 12명, 치료 B를 받은 환자 250명 중 75명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 75n₂ = 250

z =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 88을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 88

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 6.347

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 206/7 = 29.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 7.571² + (−2.429)² + 1.571² + (−1.429)² + (−0.4286)² + 6.571² + (−11.43)² = 241.7

표준편차

s = √(241.7/6) = 6.347

답

s = 6.347

2.기술통계

답: P = 0.9772

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

답

P = 0.9772

3.확률

답: N = 330

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

답

N = 330

4.확률

답: P = 0.03686

이항분포 공식

P(X = 5) = 6·0.4⁵·0.6¹ = 6·0.01024·0.6 = 0.03686

답

P = 0.03686

5.정규분포

답: P = 0.5537

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (422 − 500)/40 = −1.95

z₂ = (508 − 500)/40 = 0.2

사이의 넓이

P = Φ(0.2) − Φ(−1.95) = 0.5793 − 0.02559 = 0.5537

답

P = 0.5537

6.정규분포

답: x = 80.78 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

다시 x로

x = 100 + −1.282·15 = 80.78 점

답

x = 80.78 점

7.신뢰구간

답: 상한 = 123.7

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 1.895

오차 한계

E = 1.895·14.5/√8 = 9.715

구간

114 ± 9.715 → [104.3, 123.7]

답

상한 = 123.7

8.신뢰구간

답: n = 499

n에 대해 풀기

n = (2.576·13/1.5)² = 498.4

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 499

답

n = 499

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 3.2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 5.1/√16 = 1.275

검정통계량

t = 4.08/1.275 = 3.2

답

t = 3.2

df = 15에서 양측 5% 임곗값은 2.131입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −2.65

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

표본 비율

p̂₁ = 12/80 = 0.15

p̂₂ = 75/250 = 0.3

p̂ = 87/330 = 0.2636

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.2636·0.7364·(1/80 + 1/250)) = 0.0566

검정통계량

z = (0.15 − 0.3)/0.0566 = −2.65

답

z = −2.65

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9179

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 364/6 = 60.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 881.3

상관계수

r = 228/√(70·881.3) = 0.9179

답

r = 0.9179

12.선형 회귀와 상관

답: x = 7.184

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 522/6 = 87

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 380

회귀직선

b = 380/70 = 5.429

a = 87 − 5.429·7 = 49

ŷ = 49 + 5.429·x

x 구하기

x = (88 − 49)/5.429 = 7.184

답

x = 7.184

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