기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 27, 41, 56, 23, 16, 38.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 162보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 8x = 162

P =

3.확률보통

공정한 주사위를 3번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 3

P =

4.확률어려움

부품 8개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.6로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.6

P =

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.8508이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.8508

z =

6.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 30.5, 표준편차는 s = 8.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 8x̄ = 30.5s = 8.599%t(7) = 3.499

하한 =

8.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 14개 구획, 평균 수확량 84.5 kg, 표준 편차 2.5 kg. 구획 집단 2: 7개 구획, 평균 81 kg, 표준 편차 1 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 14x̄₁ = 84.5s₁ = 2.5n₂ = 7x̄₂ = 81s₂ = 190%t(19) = 1.729

하한 = kg

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 116.8, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 116.8s = 10n = 64

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 95%로 검출해야 한다. 표준 편차는 12이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 95%δ = 5σ = 12z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 21Σy = 127Σx² = 91Σy² = 2783Σxy = 406

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 57을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 57

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 14.43

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 201/6 = 33.5

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−6.5)² + 7.5² + 22.5² + (−10.5)² + (−17.5)² + 4.5² = 1042

표준편차

s = √(1042/5) = 14.43

답

s = 14.43

2.기술통계

답: P = 0.8413

표준화하기

z = −1

표준정규분포표

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

답

P = 0.8413

3.확률

답: P = 0.4213

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

답

P = 0.4213

4.확률

답: P = 0.00852

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.4⁸ = 0.0006554

P(X = 1) = 8·0.6·0.4⁷ = 0.007864

더하기

P = 0.0006554 + 0.007864 = 0.00852

답

P = 0.00852

5.정규분포

답: z = −1.04

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.8508 = 0.1492

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.1492을 찾아 z를 읽으세요.

z = −1.04

답

z = −1.04

6.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

7.신뢰구간

답: 하한 = 19.98

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 3.499

오차 한계

E = 3.499·8.5/√8 = 10.52

구간

30.5 ± 10.52 → [19.98, 41.02]

답

하한 = 19.98

8.신뢰구간

답: 하한 = 1.785 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (13·2.5² + 6·1²)/19 = 4.592

s_p = 2.143

오차 한계

E = 1.729·2.143·√(1/14 + 1/7) = 1.715

구간

3.5 ± 1.715 → [1.785, 5.215]

답

하한 = 1.785 kg

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.56

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25

검정통계량

t = (116.8 − 120)/1.25 = −2.56

답

t = −2.56

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 91

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 1.645)·12/5)² = 90.83

올림하기

n = 91

답

n = 91

11.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9451

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 406 − 21·127/6 = −38.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2783 − 127²/6 = 94.83

상관계수

r = −38.5/√(17.5·94.83) = −0.9451

답

r = −0.9451

12.선형 회귀와 상관

답: x = 17.49

평균

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 481/6 = 80.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 607.5

회귀직선

b = 607.5/157.5 = 3.857

a = 80.17 − 3.857·23.5 = −10.48

ŷ = −10.48 + 3.857·x

x 구하기

x = (57 − (−10.48))/3.857 = 17.49

답

x = 17.49

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