기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 46, 36, 27, 16, 30, 30.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 186점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 8x = 186

z =

3.확률보통

9명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 9k = 4

N =

4.확률어려움

부품 8개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.5로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.5

P =

5.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 60에서 73 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 60x₂ = 73

P =

6.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 25%가 그 아래에 있는 값 x(25 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 25%

x = 점

7.신뢰구간보통

관측값 25개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 3.1이다. 같은 자료로 99% 구간을 만들면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

90%n₁ = 25E₁ = 3.199%

E₂ =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 37입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 37E = 0.590%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 196.4, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 196.4s = 8n = 16

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 80 대 H₁: μ < 80의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.10에서 실시한다. 표준 편차는 7.5로 알려져 있다. 실제 평균은 78.5이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 80μ = 78.5σ = 7.5n = 25α = 0.10

β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 27일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 27

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 9.928

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 185/6 = 30.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 15.17² + 5.167² + (−3.833)² + (−14.83)² + (−0.8333)² + (−0.8333)² = 492.8

표준편차

s = √(492.8/5) = 9.928

답

s = 9.928

2.기술통계

답: z = 2

표준화하기

z = (186 − 170)/8 = 2

답

z = 2

3.확률

답: N = 126

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

답

N = 126

4.확률

답: P = 0.03516

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.5⁸ = 0.003906

P(X = 1) = 8·0.5·0.5⁷ = 0.03125

더하기

P = 0.003906 + 0.03125 = 0.03516

답

P = 0.03516

5.정규분포

답: P = 0.4796

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (60 − 65)/10 = −0.5

z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8

사이의 넓이

P = Φ(0.8) − Φ(−0.5) = 0.7881 − 0.3085 = 0.4796

답

P = 0.4796

6.정규분포

답: x = 58.26 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

다시 x로

x = 65 + −0.6745·10 = 58.26 점

답

x = 58.26 점

7.신뢰구간

답: E₂ = 4.854

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/25) = 1.566

새 오차 한계

E₂ = 3.1·1.566 = 4.854

답

E₂ = 4.854

8.신뢰구간

답: n = 14819

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·37/0.5)² = 14818

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 14819

답

n = 14819

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

검정통계량

t = (196.4 − 200)/2 = −1.8

답

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: β = 61.1 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 7.5/√25 = 1.5

x̄_c = 80 − 1.282·1.5 = 78.08

참 평균에서의 z

z = (78.08 − 78.5)/1.5 = −0.282

제2종 오류

검정력 = P(Z < −0.282) = 38.9%

β = 100% − 38.9% = 61.1%

답

β = 61.1%

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9784

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 129/6 = 21.5

ȳ = 516/6 = 86

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 720

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3364

결정계수

r² = 720²/(157.5·3364) = 0.9784

답

r² = 0.9784

y의 변동 중 약 97.84%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 138.2

평균

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 698/6 = 116.3

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 382

회귀직선

b = 382/70 = 5.457

a = 116.3 − 5.457·23 = −9.181

ŷ = −9.181 + 5.457·x

예측

ŷ = −9.181 + 5.457·27 = 138.2

답

ŷ = 138.2

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