기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 55, 40, 28, 17, 38, 47, 39.
n = 7
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 500, 표준편차 100인 정규분포를 따릅니다. 625보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 500σ = 100x = 625
P =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.3, 0.25, 0.35
Var(X) =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.2로 €12을, 확률 0.05로 €150을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €3€12: p = 0.2€150: p = 0.05
E(G) = €
5.정규분포보통
표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9015이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.
A = 0.9015
z =
6.정규분포어려움
구멍 지름 D는 평균 25.05 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
구멍: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.신뢰구간보통
두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 50대, 평균 46 h, 알려진 표준 편차 20 h. 모델 2: 휴대전화 60대, 평균 47 h, 알려진 표준 편차 8 h. μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.
n₁ = 50x̄₁ = 46 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 47 hσ₂ = 8 h95%
E = h
8.신뢰구간어려움
기계 가공한 축 10개의 지름의 표본 표준 편차는 5 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 9에서 χ² 분포의 2.5%는 2.7 아래에, 2.5%는 19.023 위에 있다.
n = 10s = 5 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 6명, 평균 점수 114.5, 표준 편차 4. 집단 2: 학생 8명, 평균 점수 120.4, 표준 편차 9. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.
n₁ = 6x̄₁ = 114.5s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 120.4s₂ = 9
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 200 대 H₁: μ < 200의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 15로 알려져 있다. 실제 평균은 197.9이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 200μ = 197.9σ = 15n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 68을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
n = 6ŷ = 68
x =
3용액
1.기술통계
답: s = 12.35
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 264/7 = 37.71
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 17.29² + 2.286² + (−9.714)² + (−20.71)² + 0.2857² + 9.286² + 1.286² = 915.4
표준편차
s = √(915.4/6) = 12.35
답
s = 12.35
2.기술통계
답: P = 0.1056
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 1.25
표준정규분포표
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
답
P = 0.1056
3.확률
답: Var(X) = 4.11
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 0·0.1 + 2·0.3 + 4·0.25 + 6·0.35 = 3.7
제곱의 평균
E(X²) = 0·0.1 + 4·0.3 + 16·0.25 + 36·0.35 = 17.8
분산
Var(X) = 17.8 − 3.7² = 4.11
답
Var(X) = 4.11
4.확률
답: E(G) = 6.9 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 9 (p = 0.2), 147 (p = 0.05), −3 (p = 0.75)
기댓값
E(G) = 9·0.2 + 147·0.05 − 3·0.75 = 6.9 €
답
E(G) = 6.9 €
양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: z = −1.29
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
z의 왼쪽 넓이
Φ(z) = 1 − 0.9015 = 0.0985
z-표를 거꾸로 읽기
표 안에서 0.0985을 찾아 z를 읽으세요.
z = −1.29
답
z = −1.29
6.정규분포
답: P = 0.9909
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
차의 분포
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02121 mm
표준화하기
z = (0 − 0.05)/0.02121 = −2.36
확률
P = 1 − Φ(−2.36) = 0.9909
답
P = 0.9909
7.신뢰구간
답: E = 5.902 h
차의 구간: 추정값 ± 임곗값 × 표준 오차. σ를 아는 독립 두 평균: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)와 z. 미지의 분산이 같으면: 합동 s_p와 자유도 n₁ + n₂ − 2의 t. 대응 자료는 차이로 계산합니다: d̄ ± t·s_d/√n.
점추정값
x̄₁ − x̄₂ = 46 − 47 = −1
표준오차
SE = √(20²/50 + 8²/60) = 3.011
오차 한계
E = 1.96·3.011 = 5.902
답
E = 5.902 h
구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.
8.신뢰구간
답: σ = 9.129 µm
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
제곱합
(n − 1)s² = 9·5² = 225
σ²의 한계
225/19.023 = 11.83
225/2.7 = 83.33
σ의 한계
σ = √83.33 = 9.129 µm
답
σ = 9.129 µm
σ의 95% 구간: [3.439, 9.129] µm.
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −1.488
가설 검정: 검정 통계량 = (추정값 − H₀에서의 값)/(H₀에서의 표준 오차). p값은 H₀가 참이라고 가정할 때 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 통계량이 나올 확률입니다. 단측 H₁이면 한쪽 꼬리의 면적, 양측 H₁이면 꼬리 면적의 두 배입니다. p ≤ α이면 H₀를 기각합니다.
합동 분산
sp² = (5·4² + 7·9²)/12 = 53.92
sp = 7.343
표준오차
SE = 7.343·√(1/6 + 1/8) = 3.966
검정통계량
t = (114.5 − 120.4)/3.966 = −1.488
답
t = −1.488
df = 12에서 양측 5% 임곗값은 2.179입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: 1 − β = 40.32 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 15/√100 = 1.5
x̄c = 200 − 1.645·1.5 = 197.5
참 평균에서의 z
z = (197.5 − 197.9)/1.5 = −0.245
전력
검정력 = P(Z < −0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%
답
1 − β = 40.32%
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9576
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 383/5 = 76.6
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Syy = Σ(y − ȳ)² = 419.2
상관계수
r = 124/√(40·419.2) = 0.9576
답
r = 0.9576
12.선형 회귀와 상관
답: x = 3.464
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 446/6 = 74.33
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107
회귀직선
b = 107/17.5 = 6.114
a = 74.33 − 6.114·4.5 = 46.82
ŷ = 46.82 + 6.114·x
x 구하기
x = (68 − 46.82)/6.114 = 3.464
답
x = 3.464
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