기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 30, 11, 44, 52, 24, 49.
n = 6
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 170, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 158보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 170σ = 15x = 158
P =
3.확률보통
공정한 주사위를 8번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?
n = 8
P =
4.확률어려움
부품 9개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.4로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?
n = 9p = 0.4
P =
5.정규분포보통
배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 29에서 43.1 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 43.1
P =
6.정규분포어려움
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 10%가 그 아래에 있는 값 x(10 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 65σ = 10P = 10%
x = 점
7.신뢰구간보통
환자 15명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 2, 표준 편차는 7.5이다. 평균 차이에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.
n = 15d̄ = 2sd = 7.599%t(14) = 2.977
E = mmHg
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 25입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 25E = 599%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
직원 8명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 −7.54, 차이의 표준 편차는 8.2이다. H₀: μd = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.
n = 8d̄ = −7.54sd = 8.2
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
측정값 16개의 표본 평균은 198.6입니다. 모표준편차는 4입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.
x̄ = 198.6σ = 4n = 1695%
U =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 6Σx = 114Σy = 286Σx² = 2236Σy² = 14368Σxy = 5656
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 52을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
n = 5ŷ = 52
x =
3용액
1.기술통계
답: s = 16.05
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 210/6 = 35
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−24)² + 9² + 17² + (−11)² + 14² = 1288
표준편차
s = √(1288/5) = 16.05
답
s = 16.05
2.기술통계
답: P = 0.7881
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = −0.8
표준정규분포표
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
답
P = 0.7881
3.확률
답: P = 0.7674
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
여사건
P(6이 안 나옴) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
답
P = 0.7674
4.확률
답: P = 0.07054
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
고장 0개와 1개
P(X = 0) = 0.69 = 0.01008
P(X = 1) = 9·0.4·0.68 = 0.06047
더하기
P = 0.01008 + 0.06047 = 0.07054
답
P = 0.07054
5.정규분포
답: P = 0.6593
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5
z₂ = (43.1 − 32)/6 = 1.85
사이의 넓이
P = Φ(1.85) − Φ(−0.5) = 0.9678 − 0.3085 = 0.6593
답
P = 0.6593
6.정규분포
답: x = 52.18 점
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
다시 x로
x = 65 + −1.282·10 = 52.18 점
답
x = 52.18 점
7.신뢰구간
답: E = 5.765 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
임계값
df = 14, t = 2.977
오차 한계
E = 2.977·7.5/√15 = 5.765
답
E = 5.765 mmHg
8.신뢰구간
답: n = 166
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (2.576·25/5)² = 165.9
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 166
답
n = 166
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −2.601
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
평균 차이의 표준 오차
SE = 8.2/√8 = 2.899
검정통계량
t = −7.54/2.899 = −2.601
답
t = −2.601
df = 7에서 양측 5% 임곗값은 2.365입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: U = 200.6
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
오차 한계
E = 1.96·4/√16 = 1.96
구간 끝값
U = 198.6 + 1.96 = 200.6
답
U = 200.6
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9785
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 5656 − 114·286/6 = 222
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 14368 − 286²/6 = 735.3
상관계수
r = 222/√(70·735.3) = 0.9785
답
r = 0.9785
12.선형 회귀와 상관
답: x = 1.943
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 354/5 = 70.8
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
회귀직선
b = 246/40 = 6.15
a = 70.8 − 6.15·5 = 40.05
ŷ = 40.05 + 6.15·x
x 구하기
x = (52 − 40.05)/6.15 = 1.943
답
x = 1.943
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