기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균
x̄ = Σx/n
표본 표준편차
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값
정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수
z = (x − μ)/σ
정규분포
±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건
P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때
x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기
n = (z·σ/E)², rounded up

방법

  1. z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
  2. 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
  3. 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
  4. 구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정
|z| > 1.96이면 H0 기각
신뢰구간
x̄ ± z·σ/√n

방법

  1. H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
  2. 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
  3. 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
  4. 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기
b = Sxy/Sxx
절편
a = ȳ − b·x̄
상관계수
r = Sxy/√(SxxSyy)
잔차
e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통
2025303540455055

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 57, 31, 51, 18, 50, 41, 21.

n = 7
s =
2.기술통계어려움
z −2−1012

어떤 양은 평균 60, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 78.75보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 15x = 78.75
P =
3.확률보통
xp(x)10.220.3530.0540.1550.25μ = 2.9

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.35, 0.05, 0.15, 0.25
Var(X) =
4.확률어려움
xp(x)00.3510.320.35μ

X의 분포가 표와 같고 Y = 5X + 5입니다. Y의 표준편차 σY을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 5X + 5
σY =
5.정규분포보통
105 s95.4 sX + Y?

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 95.4 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 95.4 s
P =
6.정규분포어려움
35455565758595점위 75%

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 75%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점75%
x = 점
7.신뢰구간보통
n = 12, s = 5LU = ?x̄ = 46E90%

항목 12개의 표본 평균은 46, 표준편차는 s = 5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 12x̄ = 46s = 590%t(11) = 1.796
상한 =
8.신뢰구간어려움
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

모표준편차는 40입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 40E = 0.590%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
−2.0932.093t = ?df = 19

직원 20명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 −5.82, 차이의 표준 편차는 8.4이다. H₀: μd = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 20d̄ = −5.82sd = 8.4
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 2.590%
n =
11.선형 회귀와 상관보통
xy2841462383410381246xy5102040

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
xy125224321422521xy242224x = 4.5

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (4.5, 17)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(4.5, 17)
e =

3용액

1.기술통계

답: s = 15.38

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 269/7 = 38.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 18.57² + (−7.429)² + 12.57² + (−20.43)² + 11.57² + 2.571² + (−17.43)² = 1420

표준편차

s = √(1420/6) = 15.38

답

s = 15.38
2.기술통계

답: P = 0.1056

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056
3.확률

답: Var(X) = 2.29

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.15 + 5·0.25 = 2.9

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.15 + 25·0.25 = 10.7

분산

Var(X) = 10.7 − 2.9² = 2.29

답

Var(X) = 2.29
4.확률

답: σY = 4.183

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 1, Var(X) = 0.7, σX = 0.8367

일차 변환

σY = |5|·0.8367 = 4.183

답

σY = 4.183

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 5·1 + 5 = 10.

5.정규분포

답: P = 0.9332

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (95.4 − 105)/6.403 = −1.5

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

답

P = 0.9332
6.정규분포

답: x = 58.3 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.25

표에서 구한 z

z ≈ −0.67

원래 단위로 되돌리기

x = 65 − 0.67·10 = 58.3 점

답

x = 58.3 점
7.신뢰구간

답: 상한 = 48.59

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 11, t = 1.796

오차 한계

E = 1.796·5/√12 = 2.592

구간

46 ± 2.592 → [43.41, 48.59]

답

상한 = 48.59
8.신뢰구간

답: n = 17319

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·40/0.5)² = 17319

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 17319

답

n = 17319
9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.099

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 8.4/√20 = 1.878

검정통계량

t = −5.82/1.878 = −3.099

답

t = −3.099

df = 19에서 양측 5% 임곗값은 2.093입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 174

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·20/2.5)² = 173.2

올림하기

n = 174

답

n = 174
11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9944

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 163/6 = 27.17

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 273
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1077

상관계수

r = 273/√(70·1077) = 0.9944

답

r = 0.9944
12.선형 회귀와 상관

답: e = −4.1

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 113/5 = 22.6

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10

회귀직선

b = −10/10 = −1
a = 22.6 − (−1)·3 = 25.6
ŷ = 25.6 − 1·x

예측값

ŷ = 25.6 + (−1)·4.5 = 21.1

잔차

e = 17 − 21.1 = −4.1

답

e = −4.1

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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