기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 25, 33, 57, 30, 25.
n = 5
s =
2.기술통계어려움
시험 점수는 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 380점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 500σ = 60x = 380
z =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.35, 0.25, 0.05, 0.1
σ =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €5이 듭니다. 확률 0.1로 €15을, 확률 0.02로 €250을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €5€15: p = 0.1€250: p = 0.02
E(G) = €
5.정규분포보통
배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 500에서 510 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 500σ = 40x1 = 500x2 = 510
P =
6.정규분포어려움
봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.신뢰구간보통
항목 30개의 표본 평균은 36, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하세요.
n = 30x̄ = 36s = 16.595%t(29) = 2.045
상한 =
8.신뢰구간어려움
기계 가공한 축 21개의 지름의 표본 표준 편차는 4 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 20에서 χ² 분포의 2.5%는 9.591 아래에, 2.5%는 34.17 위에 있다.
n = 21s = 4 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 25명 표본의 평균 점수는 78.36, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 75x̄ = 78.36s = 8n = 25
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 10입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.
σ = 10E = 399%
n =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 3.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.
n = 5x = 3.5
ŷ =
3용액
1.기술통계
답: s = 13.3
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 170/5 = 34
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = (−9)² + (−1)² + 23² + (−4)² + (−9)² = 708
표준편차
s = √(708/4) = 13.3
답
s = 13.3
2.기술통계
답: z = −2
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (380 − 500)/60 = −2
답
z = −2
3.확률
답: σ = 1.2
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.05 + 5·0.1 = 2.4
제곱의 평균
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.05 + 25·0.1 = 7.2
분산
Var(X) = 7.2 − 2.4² = 1.44
σ = √1.44 = 1.2
답
σ = 1.2
4.확률
답: E(G) = 1.5 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 10 (p = 0.1), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.88)
기댓값
E(G) = 10·0.1 + 245·0.02 − 5·0.88 = 1.5 €
답
E(G) = 1.5 €
양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: P = 0.09871
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (500 − 500)/40 = 0
z₂ = (510 − 500)/40 = 0.25
사이의 넓이
P = Φ(0.25) − Φ(0) = 0.5987 − 0.5 = 0.09871
답
P = 0.09871
6.정규분포
답: x = 241.8 g
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
다시 x로
x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g
답
x = 241.78 g
7.신뢰구간
답: 상한 = 42.16
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 29, t = 2.045
오차 한계
E = 2.045·16.5/√30 = 6.161
구간
36 ± 6.161 → [29.84, 42.16]
답
상한 = 42.16
8.신뢰구간
답: σ = 5.776 µm
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
제곱합
(n − 1)s² = 20·4² = 320
σ²의 한계
320/34.17 = 9.365
320/9.591 = 33.36
σ의 한계
σ = √33.36 = 5.776 µm
답
σ = 5.776 µm
σ의 95% 구간: [3.06, 5.776] µm.
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 2.1
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6
검정통계량
t = (78.36 − 75)/1.6 = 2.1
답
t = 2.1
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 74
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
n에 대해 풀기
n = (2.576·10/3)² = 73.73
올림하기
n = 74
답
n = 74
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9723
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 262/5 = 52.4
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Syy = Σ(y − ȳ)² = 115.2
상관계수
r = 66/√(40·115.2) = 0.9723
답
r = 0.9723
12.선형 회귀와 상관
답: ŷ = 20.35
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13
회귀직선
b = −13/10 = −1.3
a = 21 − (−1.3)·3 = 24.9
ŷ = 24.9 − 1.3·x
예측
ŷ = 24.9 + (−1.3)·3.5 = 20.35
답
ŷ = 20.35
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