기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 52, 25, 52, 30, 23.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 112보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 20x = 112

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.3, 0.05, 0.25

Var(X) =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 6개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.3로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.3k = 4

P =

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.8389이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.8389

z =

6.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.신뢰구간보통

항목 16개의 표본 평균은 21.5, 표준편차는 s = 2.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 16x̄ = 21.5s = 2.590%t(15) = 1.753

E =

8.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 20개의 지름의 표본 표준 편차는 10.6 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 19에서 χ² 분포의 2.5%는 8.907 아래에, 2.5%는 32.852 위에 있다.

n = 20s = 10.6 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 124.9, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 124.9s = 20n = 49

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 509입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 509σ = 20n = 3699%

U =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 126Σy = 335Σx² = 2716Σy² = 19151Σxy = 7204

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (7.5, 70)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(7.5, 70)

e =

3용액

1.기술통계

답: s = 14.47

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 182/5 = 36.4

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 15.6² + (−11.4)² + 15.6² + (−6.4)² + (−13.4)² = 837.2

표준편차

s = √(837.2/4) = 14.47

답

s = 14.47

2.기술통계

답: P = 0.2743

표준화하기

z = 0.6

표준정규분포표

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

답

P = 0.2743

3.확률

답: Var(X) = 1.9

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.15 + 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.05 + 4·0.25 = 2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.05 + 16·0.25 = 5.9

분산

Var(X) = 5.9 − 2² = 1.9

답

Var(X) = 1.9

4.확률

답: P = 0.05953

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 4) = 15·0.3⁴·0.7² = 15·0.0081·0.49 = 0.05953

답

P = 0.05953

5.정규분포

답: z = −0.99

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.8389 = 0.1611

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.1611을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.99

답

z = −0.99

6.정규분포

답: P = 0.9515

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm

표준화하기

z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66

확률

P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515

답

P = 0.9515

7.신뢰구간

답: E = 1.096

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 15, t = 1.753

오차 한계

E = 1.753·2.5/√16 = 1.096

답

E = 1.096

8.신뢰구간

답: σ = 15.48 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 19·10.6² = 2135

σ²의 한계

2135/32.852 = 64.98

2135/8.907 = 239.7

σ의 한계

σ = √239.7 = 15.48 µm

답

σ = 15.48 µm

σ의 95% 구간: [8.061, 15.48] µm.

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.715

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

검정통계량

t = (124.9 − 120)/2.857 = 1.715

답

t = 1.715

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 517.6

오차 한계

E = 2.576·20/√36 = 8.587

구간 끝값

U = 509 + 8.587 = 517.6

답

U = 517.6

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9556

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 7204 − 126·335/6 = 169

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 19151 − 335²/6 = 446.8

상관계수

r = 169/√(70·446.8) = 0.9556

답

r = 0.9556

12.선형 회귀와 상관

답: e = −5.052

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 391/6 = 65.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86.5

회귀직선

b = 86.5/17.5 = 4.943

a = 65.17 − 4.943·5.5 = 37.98

ŷ = 37.98 + 4.943·x

예측값

ŷ = 37.98 + 4.943·7.5 = 75.05

잔차

e = 70 − 75.05 = −5.052

답

e = −5.052

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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