기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 41, 60, 57, 28, 51, 42.
n = 6
s =
2.기술통계어려움
시험 점수는 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 74점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 50σ = 12x = 74
z =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.3, 0.15
σ =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.1로 €30을, 확률 0.01로 €200을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €10€30: p = 0.1€200: p = 0.01
E(G) = €
5.정규분포보통
성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 167.85에서 179.4 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 178σ = 7x1 = 167.85x2 = 179.4
P =
6.정규분포어려움
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 90%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.
μ = 65 점σ = 10 점90%
x = 점
7.신뢰구간보통
관측값 36개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 11.8이다. 같은 자료로 99% 구간을 만들면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
90%n₁ = 36E₁ = 11.899%
E₂ =
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 29입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 29E = 0.595%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 100명 표본의 평균 점수는 201.2, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 200x̄ = 201.2s = 5n = 100
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
측정값 16개의 표본 평균은 104.9입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.
x̄ = 104.9σ = 15n = 1690%
U =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.
n = 6
r² =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (2.5, 19)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 5(2.5, 19)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 11.88
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 279/6 = 46.5
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = (−5.5)² + 13.5² + 10.5² + (−18.5)² + 4.5² + (−4.5)² = 705.5
표준편차
s = √(705.5/5) = 11.88
답
s = 11.88
2.기술통계
답: z = 2
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (74 − 50)/12 = 2
답
z = 2
3.확률
답: σ = 1.09
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.15 = 2.25
제곱의 평균
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.15 = 6.25
분산
Var(X) = 6.25 − 2.25² = 1.188
σ = √1.188 = 1.09
답
σ = 1.09
4.확률
답: E(G) = −5 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 20 (p = 0.1), 190 (p = 0.01), −10 (p = 0.89)
기댓값
E(G) = 20·0.1 + 190·0.01 − 10·0.89 = −5 €
답
E(G) = −5 €
음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: P = 0.5057
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45
z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2
사이의 넓이
P = Φ(0.2) − Φ(−1.45) = 0.5793 − 0.07353 = 0.5057
답
P = 0.5057
6.정규분포
답: x = 77.8 점
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
왼쪽 넓이
Φ(z) = 0.9
표에서 구한 z
z ≈ 1.28
원래 단위로 되돌리기
x = 65 + 1.28·10 = 77.8 점
답
x = 77.8 점
7.신뢰구간
답: E₂ = 18.48
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(36/36) = 1.566
새 오차 한계
E₂ = 11.8·1.566 = 18.48
답
E₂ = 18.48
8.신뢰구간
답: n = 12924
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.96·29/0.5)² = 12923
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 12924
답
n = 12924
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 2.4
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
검정통계량
t = (201.2 − 200)/0.5 = 2.4
답
t = 2.4
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: U = 111.1
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
오차 한계
E = 1.645·15/√16 = 6.169
구간 끝값
U = 104.9 + 6.169 = 111.1
답
U = 111.1
11.선형 회귀와 상관
답: r² = 0.7122
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 219/6 = 36.5
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 95.5
결정계수
r² = 34.5²/(17.5·95.5) = 0.7122
답
r² = 0.7122
y의 변동 중 약 71.22%가 직선으로 설명됩니다.
12.선형 회귀와 상관
답: e = −4.05
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 109/5 = 21.8
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
회귀직선
b = −25/10 = −2.5
a = 21.8 − (−2.5)·3 = 29.3
ŷ = 29.3 − 2.5·x
예측값
ŷ = 29.3 + (−2.5)·2.5 = 23.05
잔차
e = 19 − 23.05 = −4.05
답
e = −4.05
점이 직선 아래쪽에 있습니다.
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