기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 44, 40, 39, 25, 24, 49.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 100인 정규분포를 따릅니다. 380보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 100x = 380

P =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

σ =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.2로 €20을, 확률 0.01로 €200을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €10€20: p = 0.2€200: p = 0.01

E(G) = €

5.정규분포보통

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 114.6 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114.6 s

P =

6.정규분포어려움

1번 라인 제품의 질량 X와 2번 라인 제품의 질량 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 500 g, 표준편차 8 g이고 Y는 평균 490 g, 표준편차 6 g입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 107, 표준편차는 s = 6.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 11x̄ = 107s = 6.599%t(10) = 3.169

상한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 36입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 36E = 299%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 6명, 평균 점수 29.5, 표준 편차 2.5. 집단 2: 학생 11명, 평균 점수 32.4, 표준 편차 6. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 6x̄₁ = 29.5s₁ = 2.5n₂ = 11x̄₂ = 32.4s₂ = 6

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 100 대 H₁: μ < 100의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 5로 알려져 있다. 실제 평균은 96.4이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 100μ = 96.4σ = 5n = 25α = 0.01

1 − β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 25Σy = 261Σx² = 165Σy² = 14223Σxy = 1459

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 24일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 24

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 10.19

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 221/6 = 36.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 7.167² + 3.167² + 2.167² + (−11.83)² + (−12.83)² + 12.17² = 518.8

표준편차

s = √(518.8/5) = 10.19

답

s = 10.19

2.기술통계

답: P = 0.1151

표준화하기

z = −1.2

표준정규분포표

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

답

P = 0.1151

3.확률

답: σ = 0.8047

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

분산

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

답

σ = 0.8047

4.확률

답: E(G) = −4 €

순 결과

G: 10 (p = 0.2), 190 (p = 0.01), −10 (p = 0.79)

기댓값

E(G) = 10·0.2 + 190·0.01 − 10·0.79 = −4 €

답

E(G) = −4 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.06681

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (114.6 − 105)/6.403 = 1.5

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.06681

답

P = 0.06681

6.정규분포

답: P = 0.8413

차의 분포

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

표준화하기

z = (0 − 10)/10 = −1

확률

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

답

P = 0.8413

7.신뢰구간

답: 상한 = 113.2

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 3.169

오차 한계

E = 3.169·6.5/√11 = 6.211

구간

107 ± 6.211 → [100.8, 113.2]

답

상한 = 113.2

8.신뢰구간

답: n = 2150

n에 대해 풀기

n = (2.576·36/2)² = 2150

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 2150

답

n = 2150

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (5·2.5² + 10·6²)/15 = 26.08

s_p = 5.107

표준오차

SE = 5.107·√(1/6 + 1/11) = 2.592

검정통계량

t = (29.5 − 32.4)/2.592 = −1.119

답

t = −1.119

df = 15에서 양측 5% 임곗값은 2.131입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 89.87 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 100 − 2.326·1 = 97.67

참 평균에서의 z

z = (97.67 − 96.4)/1 = 1.274

전력

검정력 = P(Z < 1.274) = 89.87%

1 − β = 89.87%

답

1 − β = 89.87%

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9951

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1459 − 25·261/5 = 154

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 14223 − 261²/5 = 598.8

상관계수

r = 154/√(40·598.8) = 0.9951

답

r = 0.9951

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 140.8

평균

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 614/5 = 122.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

회귀직선

b = 240/40 = 6

a = 122.8 − 6·21 = −3.2

ŷ = −3.2 + 6·x

예측

ŷ = −3.2 + 6·24 = 140.8

답

ŷ = 140.8

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