기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 20, 36, 20, 57, 14, 18, 51.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 60, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 75점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 60σ = 12x = 75

z =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.05, 0.35, 0.25

Var(X) =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.25로 €9을, 확률 0.05로 €30을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€9: p = 0.25€30: p = 0.05

E(G) = €

5.정규분포보통

X는 평균 250 g, 표준편차 4 g인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 500 g, 표준편차 9 g인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 762.3 g보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762.3 g

P =

6.정규분포어려움

1번 라인 제품의 질량 X와 2번 라인 제품의 질량 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 500 g, 표준편차 8 g이고 Y는 평균 490 g, 표준편차 6 g입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.신뢰구간보통

관측값 25개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 7이다. 관측값 100개에 근거한 99% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

90%n₁ = 25E₁ = 799%n₂ = 100

E₂ =

8.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 20개의 지름의 표본 표준 편차는 12 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 19에서 χ² 분포의 2.5%는 8.907 아래에, 2.5%는 32.852 위에 있다.

n = 20s = 12 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 85.88, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 85.88s = 15n = 16

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 16개의 표본 평균은 92.8입니다. 모표준편차는 12입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 92.8σ = 12n = 1699%

U =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 5.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 5.5

ŷ =

3용액

1.기술통계

답: s = 17.32

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 216/7 = 30.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−10.86)² + 5.143² + (−10.86)² + 26.14² + (−16.86)² + (−12.86)² + 20.14² = 1801

표준편차

s = √(1801/6) = 17.32

답

s = 17.32

2.기술통계

답: z = 1.25

표준화하기

z = (75 − 60)/12 = 1.25

답

z = 1.25

3.확률

답: Var(X) = 1.45

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.25 = 1.5

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.25 = 3.7

분산

Var(X) = 3.7 − 1.5² = 1.45

답

Var(X) = 1.45

4.확률

답: E(G) = 0.75 €

순 결과

G: 6 (p = 0.25), 27 (p = 0.05), −3 (p = 0.7)

기댓값

E(G) = 6·0.25 + 27·0.05 − 3·0.7 = 0.75 €

답

E(G) = 0.75 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.1056

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

표준화하기

z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056

6.정규분포

답: P = 0.8413

차의 분포

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

표준화하기

z = (0 − 10)/10 = −1

확률

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

답

P = 0.8413

7.신뢰구간

답: E₂ = 5.481

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/100) = 0.783

새 오차 한계

E₂ = 7·0.783 = 5.481

답

E₂ = 5.481

8.신뢰구간

답: σ = 17.53 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 19·12² = 2736

σ²의 한계

2736/32.852 = 83.28

2736/8.907 = 307.2

σ의 한계

σ = √307.2 = 17.53 µm

답

σ = 17.53 µm

σ의 95% 구간: [9.126, 17.53] µm.

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.901

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

검정통계량

t = (85.88 − 75)/3.75 = 2.901

답

t = 2.901

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 100.5

오차 한계

E = 2.576·12/√16 = 7.728

구간 끝값

U = 92.8 + 7.728 = 100.5

답

U = 100.5

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9396

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 88/6 = 14.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 177.3

결정계수

r² = −54²/(17.5·177.3) = 0.9396

답

r² = 0.9396

y의 변동 중 약 93.96%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 79.7

평균

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 355/5 = 71

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

회귀직선

b = 58/10 = 5.8

a = 71 − 5.8·4 = 47.8

ŷ = 47.8 + 5.8·x

예측

ŷ = 47.8 + 5.8·5.5 = 79.7

답

ŷ = 79.7

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