기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 11, 31, 14, 11, 28, 36, 48.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 470점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 60x = 470

z =

3.확률보통

공정한 주사위를 7번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 7

P =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.6로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.6k = 5

P =

5.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 245.25에서 254.25 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 245.25x₂ = 254.25

P =

6.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.신뢰구간보통

관측값 64개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 3.6이다. 관측값 128개에 근거한 95% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

90%n₁ = 64E₁ = 3.695%n₂ = 128

E₂ =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 14입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 14E = 199%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 40개 표본의 평균 길이는 84.5 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 13 mm이다. 라인 2: 부품 80개 표본의 평균은 77.7 mm, 알려진 표준 편차는 7 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 84.5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 80x̄₂ = 77.7 mmσ₂ = 7 mm

z =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 4입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 4E = 1.595%

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 79을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 79

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 14.18

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 179/7 = 25.57

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−14.57)² + 5.429² + (−11.57)² + (−14.57)² + 2.429² + 10.43² + 22.43² = 1206

표준편차

s = √(1206/6) = 14.18

답

s = 14.18

2.기술통계

답: z = −0.5

표준화하기

z = (470 − 500)/60 = −0.5

답

z = −0.5

3.확률

답: P = 0.7209

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

답

P = 0.7209

4.확률

답: P = 0.2787

이항분포 공식

P(X = 5) = 56·0.6⁵·0.4³ = 56·0.07776·0.064 = 0.2787

답

P = 0.2787

5.정규분포

답: P = 0.6313

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (245.25 − 250)/5 = −0.95

z₂ = (254.25 − 250)/5 = 0.85

사이의 넓이

P = Φ(0.85) − Φ(−0.95) = 0.8023 − 0.1711 = 0.6313

답

P = 0.6313

6.정규분포

답: x = 166.5 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

답

x = 166.49 cm

7.신뢰구간

답: E₂ = 3.033

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(64/128) = 0.8425

새 오차 한계

E₂ = 3.6·0.8425 = 3.033

답

E₂ = 3.033

8.신뢰구간

답: n = 1301

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (2.576·14/1)² = 1301

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1301

답

n = 1301

9.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 3.092

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(13²/40 + 7²/80) = √4.837 = 2.199

검정통계량

z = (84.5 − 77.7)/2.199 = 3.092

답

z = 3.092

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 28

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (1.96·4/1.5)² = 27.32

올림하기

n = 28

답

n = 28

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.7015

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 338/5 = 67.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 41.2

결정계수

r² = 17²/(10·41.2) = 0.7015

답

r² = 0.7015

y의 변동 중 약 70.15%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: x = 21.46

평균

x̄ = 147/6 = 24.5

ȳ = 558/6 = 93

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 726

회귀직선

b = 726/157.5 = 4.61

a = 93 − 4.61·24.5 = −19.93

ŷ = −19.93 + 4.61·x

x 구하기

x = (79 − (−19.93))/4.61 = 21.46

답

x = 21.46

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