기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 57, 60, 21, 36, 41.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 180점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 10x = 180

z =

3.확률보통

12명 중에서 2명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 12k = 2

N =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 11개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.3로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 11p = 0.3k = 2

P =

5.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 166.8에서 192 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 166.8x₂ = 192

P =

6.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 34, 표준편차는 s = 4.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 8x̄ = 34s = 4.599%t(7) = 3.499

상한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 27입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 27E = 2.590%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 44.69, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 44.69s = 12n = 49

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 50 대 H₁: μ > 50의 단측 z 검정을 표본 크기 36, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 9로 알려져 있다. 실제 평균은 53.15이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 50μ = 53.15σ = 9n = 36α = 0.01

1 − β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3.5, 16)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(3.5, 16)

e =

3용액

1.기술통계

답: s = 15.98

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 215/5 = 43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 14² + 17² + (−22)² + (−7)² + (−2)² = 1022

표준편차

s = √(1022/4) = 15.98

답

s = 15.98

2.기술통계

답: z = 1

표준화하기

z = (180 − 170)/10 = 1

답

z = 1

3.확률

답: N = 66

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

답

N = 66

4.확률

답: P = 0.1998

이항분포 공식

P(X = 2) = 55·0.3²·0.7⁹ = 55·0.09·0.04035 = 0.1998

답

P = 0.1998

5.정규분포

답: P = 0.9225

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

사이의 넓이

P = Φ(2) − Φ(−1.6) = 0.9772 − 0.0548 = 0.9225

답

P = 0.9225

6.정규분포

답: x = 36.05 min

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

답

x = 36.05 min

7.신뢰구간

답: 상한 = 39.57

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 3.499

오차 한계

E = 3.499·4.5/√8 = 5.567

구간

34 ± 5.567 → [28.43, 39.57]

답

상한 = 39.57

8.신뢰구간

답: n = 316

n에 대해 풀기

n = (1.645·27/2.5)² = 315.6

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 316

답

n = 316

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.098

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

검정통계량

t = (44.69 − 50)/1.714 = −3.098

답

t = −3.098

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 41.06 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 9/√36 = 1.5

x̄_c = 50 + 2.326·1.5 = 53.49

참 평균에서의 z

z = (53.49 − 53.15)/1.5 = 0.226

전력

검정력 = P(Z > 0.226) = 41.06%

1 − β = 41.06%

답

1 − β = 41.06%

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9804

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 152/6 = 25.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 839.3

결정계수

r² = 240²/(70·839.3) = 0.9804

답

r² = 0.9804

y의 변동 중 약 98.04%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: e = −3.333

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 116/6 = 19.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40

회귀직선

b = −40/17.5 = −2.286

a = 19.33 − (−2.286)·3.5 = 27.33

ŷ = 27.33 − 2.286·x

예측값

ŷ = 27.33 + (−2.286)·3.5 = 19.33

잔차

e = 16 − 19.33 = −3.333

답

e = −3.333

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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