기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 46, 51, 13, 45, 18, 19.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 186보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 8x = 186

P =

3.확률보통

주머니에 빨간 공 4개와 파란 공 6개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

4 / 6

P =

4.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 5개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.5k = 2

P =

5.정규분포보통

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 62.5에서 77.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 77.5

P =

6.정규분포어려움

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 90%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.신뢰구간보통

항목 9개의 표본 평균은 45.5, 표준편차는 s = 17입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 9x̄ = 45.5s = 1795%t(8) = 2.306

하한 =

8.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.4이(가) 불량이다. 비율에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.05이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.4E = 0.0590%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 10명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 −3.87, 차이의 표준 편차는 7.2이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 10d̄ = −3.87s_d = 7.2

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 100 대 H₁: μ < 100의 단측 z 검정을 표본 크기 36, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 12로 알려져 있다. 실제 평균은 95이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 100μ = 95σ = 12n = 36α = 0.01

β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 128을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 128

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 17.04

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 192/6 = 32

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 14² + 19² + (−19)² + 13² + (−14)² + (−13)² = 1452

표준편차

s = √(1452/5) = 17.04

답

s = 17.04

2.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = 2

표준정규분포표

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

답

P = 0.02275

3.확률

답: P = 0.1333

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0.1333

답

P = 0.1333

4.확률

답: P = 0.3125

이항분포 공식

P(X = 2) = 10·0.5²·0.5³ = 10·0.25·0.125 = 0.3125

답

P = 0.3125

5.정규분포

답: P = 0.4931

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25

사이의 넓이

P = Φ(1.25) − Φ(−0.25) = 0.8944 − 0.4013 = 0.4931

답

P = 0.4931

6.정규분포

답: x = 256.4 g

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.9

표에서 구한 z

z ≈ 1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

답

x = 256.4 g

7.신뢰구간

답: 하한 = 32.43

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 8, t = 2.306

오차 한계

E = 2.306·17/√9 = 13.07

구간

45.5 ± 13.07 → [32.43, 58.57]

답

하한 = 32.43

8.신뢰구간

답: n = 260

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.645²·0.4·0.6/0.05² = 259.8

올림하기

n = 260

답

n = 260

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 7.2/√10 = 2.277

검정통계량

t = −3.87/2.277 = −1.7

답

t = −1.7

df = 9에서 양측 5% 임곗값은 2.262입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: β = 43.09 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 100 − 2.326·2 = 95.35

참 평균에서의 z

z = (95.35 − 95)/2 = 0.174

제2종 오류

검정력 = P(Z < 0.174) = 56.91%

β = 100% − 56.91% = 43.09%

답

β = 43.09%

11.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9699

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 450/6 = 75

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 700

결정계수

r² = 109²/(17.5·700) = 0.9699

답

r² = 0.9699

y의 변동 중 약 96.99%가 직선으로 설명됩니다.

12.선형 회귀와 상관

답: x = 23.93

평균

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 644/6 = 107.3

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368

회귀직선

b = 368/70 = 5.257

a = 107.3 − 5.257·20 = 2.19

ŷ = 2.19 + 5.257·x

x 구하기

x = (128 − 2.19)/5.257 = 23.93

답

x = 23.93

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