기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 14, 11, 42, 13, 59.

n = 5

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 100, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 90점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 100σ = 5x = 90

z =

3.확률보통

주머니에 빨간 공 8개와 파란 공 9개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

8 / 9

P =

4.확률어려움

부품 5개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.3로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.3

P =

5.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.7967이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7967

z =

6.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 90%가 그 아래에 있는 값 x(90 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.신뢰구간보통

항목 9개의 표본 평균은 35.5, 표준편차는 s = 5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 9x̄ = 35.5s = 590%t(8) = 1.86

E =

8.신뢰구간어려움

불량품 비율에 대해서는 사전에 알려진 것이 없다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.02이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p = 0.5E = 0.0295%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 68.36, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 68.36s = 15n = 49

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 299%

n =

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 65을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 65

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 21.6

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 139/5 = 27.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−13.8)² + (−16.8)² + 14.2² + (−14.8)² + 31.2² = 1867

표준편차

s = √(1867/4) = 21.6

답

s = 21.6

2.기술통계

답: z = −2

표준화하기

z = (90 − 100)/5 = −2

답

z = −2

3.확률

답: P = 0.2059

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0.2059

답

P = 0.2059

4.확률

답: P = 0.5282

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.7⁵ = 0.1681

P(X = 1) = 5·0.3·0.7⁴ = 0.3601

더하기

P = 0.1681 + 0.3601 = 0.5282

답

P = 0.5282

5.정규분포

답: z = −0.83

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.7967 = 0.2033

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.2033을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.83

답

z = −0.83

6.정규분포

답: x = 187 cm

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

다시 x로

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

답

x = 186.97 cm

7.신뢰구간

답: E = 3.1

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 8, t = 1.86

오차 한계

E = 1.86·5/√9 = 3.1

답

E = 3.1

8.신뢰구간

답: n = 2401

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.96²·0.5·0.5/0.02² = 2401

올림하기

n = 2401

답

n = 2401

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.099

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

검정통계량

t = (68.36 − 75)/2.143 = −3.099

답

t = −3.099

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 664

n에 대해 풀기

n = (2.576·20/2)² = 663.6

올림하기

n = 664

답

n = 664

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9503

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 288/6 = 48

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 524

상관계수

r = 91/√(17.5·524) = 0.9503

답

r = 0.9503

12.선형 회귀와 상관

답: x = 4.544

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 281/5 = 56.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

회귀직선

b = 57/10 = 5.7

a = 56.2 − 5.7·3 = 39.1

ŷ = 39.1 + 5.7·x

x 구하기

x = (65 − 39.1)/5.7 = 4.544

답

x = 4.544

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1