기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 41, 27, 21, 32, 41, 52.

n = 6

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 38점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 12x = 38

z =

3.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.35, 0.05, 0.3, 0.1

Var(X) =

4.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.2로 €30을, 확률 0.05로 €100을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €10€30: p = 0.2€100: p = 0.05

E(G) = €

5.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 8개의 총 질량이 200.7 kg 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8< 200.7 kg

P =

6.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.02 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

7.신뢰구간보통

항목 7개의 표본 평균은 23, 표준편차는 s = 20입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 7x̄ = 23s = 2099%t(6) = 3.707

상한 =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 31입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 4 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 31E = 495%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 50개 표본의 평균 길이는 110 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 16 mm이다. 라인 2: 부품 60개 표본의 평균은 99 mm, 알려진 표준 편차는 20 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 50x̄₁ = 110 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 60x̄₂ = 99 mmσ₂ = 20 mm

z =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 500 대 H₁: μ < 500의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 15로 알려져 있다. 실제 평균은 492.5이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 500μ = 492.5σ = 15n = 25α = 0.01

1 − β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 71을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 71

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 11.2

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 214/6 = 35.67

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 5.333² + (−8.667)² + (−14.67)² + (−3.667)² + 5.333² + 16.33² = 627.3

표준편차

s = √(627.3/5) = 11.2

답

s = 11.2

2.기술통계

답: z = −1

표준화하기

z = (38 − 50)/12 = −1

답

z = −1

3.확률

답: Var(X) = 1.787

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.1 = 2.75

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.1 = 9.35

분산

Var(X) = 9.35 − 2.75² = 1.787

답

Var(X) = 1.787

4.확률

답: E(G) = 1 €

순 결과

G: 20 (p = 0.2), 90 (p = 0.05), −10 (p = 0.75)

기댓값

E(G) = 20·0.2 + 90·0.05 − 10·0.75 = 1 €

답

E(G) = 1 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.6879

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

표준화하기

z = (200.7 − 200)/1.414 = 0.49

확률

P = Φ(0.49) = 0.6879

답

P = 0.6879

6.정규분포

답: P = 0.8133

차의 분포

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

표준화하기

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

확률

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

답

P = 0.8133

7.신뢰구간

답: 상한 = 51.02

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 6, t = 3.707

오차 한계

E = 3.707·20/√7 = 28.02

구간

23 ± 28.02 → [−5.022, 51.02]

답

상한 = 51.02

8.신뢰구간

답: n = 231

n에 대해 풀기

n = (1.96·31/4)² = 230.7

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 231

답

n = 231

9.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 3.204

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(16²/50 + 20²/60) = √11.79 = 3.433

검정통계량

z = (110 − 99)/3.433 = 3.204

답

z = 3.204

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 56.91 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 500 − 2.326·3 = 493

참 평균에서의 z

z = (493 − 492.5)/3 = 0.174

전력

검정력 = P(Z < 0.174) = 56.91%

1 − β = 56.91%

답

1 − β = 56.91%

11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9947

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 468/6 = 78

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 336

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1630

상관계수

r = 336/√(70·1630) = 0.9947

답

r = 0.9947

12.선형 회귀와 상관

답: x = 25.03

평균

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 305/5 = 61

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

회귀직선

b = 132/40 = 3.3

a = 61 − 3.3·22 = −11.6

ŷ = −11.6 + 3.3·x

x 구하기

x = (71 − (−11.6))/3.3 = 25.03

답

x = 25.03

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