기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 57, 12, 16, 22, 33, 47, 58.
n = 7
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 54.8보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 50σ = 12x = 54.8
P =
3.확률보통
10명 중에서 2명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.
n = 10k = 2
N =
4.확률어려움
부품 9개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.3로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?
n = 9p = 0.3
P =
5.정규분포보통
IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 96.25에서 103.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 100σ = 15x1 = 96.25x2 = 103.75
P =
6.정규분포어려움
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 80%가 그 아래에 있는 값 x(80 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 65σ = 10P = 80%
x = 점
7.신뢰구간보통
두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 100대, 평균 129 h, 알려진 표준 편차 10 h. 모델 2: 휴대전화 60대, 평균 130 h, 알려진 표준 편차 17 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.
n₁ = 100x̄₁ = 129 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 130 hσ₂ = 17 h90%
E = h
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 36입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 4 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 36E = 499%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 25명 표본의 평균 점수는 80.04, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 75x̄ = 80.04s = 12n = 25
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 100 대 H₁: μ > 100의 단측 z 검정을 표본 크기 36, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 12로 알려져 있다. 실제 평균은 106.6이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 100μ = 106.6σ = 12n = 36α = 0.05
1 − β = %
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (1.5, 29)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(1.5, 29)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 19.24
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 245/7 = 35
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 22² + (−23)² + (−19)² + (−13)² + (−2)² + 12² + 23² = 2220
표준편차
s = √(2220/6) = 19.24
답
s = 19.24
2.기술통계
답: P = 0.3446
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 0.4
표준정규분포표
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
답
P = 0.3446
3.확률
답: N = 45
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
조합
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
답
N = 45
4.확률
답: P = 0.196
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
고장 0개와 1개
P(X = 0) = 0.79 = 0.04035
P(X = 1) = 9·0.3·0.78 = 0.1556
더하기
P = 0.04035 + 0.1556 = 0.196
답
P = 0.196
5.정규분포
답: P = 0.1974
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (96.25 − 100)/15 = −0.25
z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25
사이의 넓이
P = Φ(0.25) − Φ(−0.25) = 0.5987 − 0.4013 = 0.1974
답
P = 0.1974
6.정규분포
답: x = 73.42 점
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
다시 x로
x = 65 + 0.8416·10 = 73.42 점
답
x = 73.42 점
7.신뢰구간
답: E = 3.967 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
점추정값
x̄₁ − x̄₂ = 129 − 130 = −1
표준오차
SE = √(10²/100 + 17²/60) = 2.412
오차 한계
E = 1.645·2.412 = 3.967
답
E = 3.967 h
구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.
8.신뢰구간
답: n = 538
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (2.576·36/4)² = 537.5
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 538
답
n = 538
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 2.1
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 12/√25 = 12/5 = 2.4
검정통계량
t = (80.04 − 75)/2.4 = 2.1
답
t = 2.1
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: 1 − β = 95.1 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 100 + 1.645·2 = 103.3
참 평균에서의 z
z = (103.3 − 106.6)/2 = −1.655
전력
검정력 = P(Z > −1.655) = 95.1%
1 − β = 95.1%
답
1 − β = 95.1%
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9988
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 107/5 = 21.4
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Syy = Σ(y − ȳ)² = 491.2
상관계수
r = 140/√(40·491.2) = 0.9988
답
r = 0.9988
12.선형 회귀와 상관
답: e = 1.657
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 138/6 = 23
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38
회귀직선
b = −38/17.5 = −2.171
a = 23 − (−2.171)·3.5 = 30.6
ŷ = 30.6 − 2.171·x
예측값
ŷ = 30.6 + (−2.171)·1.5 = 27.34
잔차
e = 29 − 27.34 = 1.657
답
e = 1.657
점이 직선 위쪽에 있습니다.
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