기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균
x̄ = Σx/n
표본 표준편차
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값
정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수
z = (x − μ)/σ
정규분포
±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건
P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때
x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기
n = (z·σ/E)², rounded up

방법

  1. z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
  2. 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
  3. 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
  4. 구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정
|z| > 1.96이면 H0 기각
신뢰구간
x̄ ± z·σ/√n

방법

  1. H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
  2. 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
  3. 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
  4. 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기
b = Sxy/Sxx
절편
a = ȳ − b·x̄
상관계수
r = Sxy/√(SxxSyy)
잔차
e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통
152025303540455055

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 12, 58, 55, 16, 12, 24, 56.

n = 7
s =
2.기술통계어려움
z −2−1012

시험 점수는 평균 50, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 56점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 10x = 56
z =
3.확률보통
n = 12k = 4N = ?

12명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 12k = 4
N =
4.확률어려움
€p(x)−20.8320.15180.02

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.15로 €4을, 확률 0.02로 €20을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€4: p = 0.15€20: p = 0.02
E(G) = €
5.정규분포보통
92.5118.75P = ?

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 92.5에서 118.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x1 = 92.5x2 = 118.75
P =
6.정규분포어려움
10 g0X − Y?

1번 라인 제품의 질량 X와 2번 라인 제품의 질량 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 500 g, 표준편차 8 g이고 Y는 평균 490 g, 표준편차 6 g입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.신뢰구간보통
n = 16, s = 9L = ?Ux̄ = 46.5E95%

항목 16개의 표본 평균은 46.5, 표준편차는 s = 9입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 16x̄ = 46.5s = 995%t(15) = 2.131
하한 =
8.신뢰구간어려움
n = 25Lσ = ?s = 7.395%

기계 가공한 축 25개의 지름의 표본 표준 편차는 7.3 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 24에서 χ² 분포의 2.5%는 12.401 아래에, 2.5%는 39.364 위에 있다.

n = 25s = 7.3 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
t −2.06402.064

학생 25명 표본의 평균 점수는 45.84, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 45.84s = 8n = 25
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.01βσ = 6, 검정력 80%, n = ?

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 2.5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 6이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 80%δ = 2.5σ = 6zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.선형 회귀와 상관보통
xy35356978298911106xy5106080100

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 35Σy = 399Σx² = 285Σy² = 33451Σxy = 3045
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
xy158368576791998xy56080100ŷ = 94

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 94을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 94
x =

3용액

1.기술통계

답: s = 21.94

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 233/7 = 33.29

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−21.29)² + 24.71² + 21.71² + (−17.29)² + (−21.29)² + (−9.286)² + 22.71² = 2889

표준편차

s = √(2889/6) = 21.94

답

s = 21.94
2.기술통계

답: z = 0.6

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

표준화하기

z = (56 − 50)/10 = 0.6

답

z = 0.6
3.확률

답: N = 495

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

답

N = 495
4.확률

답: E(G) = −1 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 2 (p = 0.15), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.83)

기댓값

E(G) = 2·0.15 + 18·0.02 − 2·0.83 = −1 €

답

E(G) = −1 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: P = 0.5858

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (92.5 − 100)/15 = −0.5
z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25

사이의 넓이

P = Φ(1.25) − Φ(−0.5) = 0.8944 − 0.3085 = 0.5858

답

P = 0.5858
6.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

표준화하기

z = (0 − 10)/10 = −1

확률

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

답

P = 0.8413
7.신뢰구간

답: 하한 = 41.71

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 15, t = 2.131

오차 한계

E = 2.131·9/√16 = 4.795

구간

46.5 ± 4.795 → [41.71, 51.29]

답

하한 = 41.71
8.신뢰구간

답: σ = 10.16 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 24·7.3² = 1279

σ²의 한계

1279/39.364 = 32.49
1279/12.401 = 103.1

σ의 한계

σ = √103.1 = 10.16 µm

답

σ = 10.16 µm

σ의 95% 구간: [5.7, 10.16] µm.

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.6

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

검정통계량

t = (45.84 − 50)/1.6 = −2.6

답

t = −2.6
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 58

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 0.842)·6/2.5)² = 57.81

올림하기

n = 58

답

n = 58
11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9928

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

Sxy = 3045 − 35·399/5 = 252
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 33451 − 399²/5 = 1611

상관계수

r = 252/√(40·1611) = 0.9928

답

r = 0.9928
12.선형 회귀와 상관

답: x = 8.068

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 391/5 = 78.2

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

회귀직선

b = 206/40 = 5.15
a = 78.2 − 5.15·5 = 52.45
ŷ = 52.45 + 5.15·x

x 구하기

x = (94 − 52.45)/5.15 = 8.068

답

x = 8.068

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