공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
짐을 든 승객의 질량은 독립이며 평균 85 kg, 표준편차 12 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 4개의 총 질량이 388 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.
두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 80대, 평균 150 h, 알려진 표준 편차 9 h. 모델 2: 휴대전화 80대, 평균 140 h, 알려진 표준 편차 20 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.
두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 17개 구획, 평균 수확량 93.5 kg, 표준 편차 5 kg. 구획 집단 2: 5개 구획, 평균 90 kg, 표준 편차 2 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.
직원 13명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 −3.42, 차이의 표준 편차는 11.2이다. H₀: μd = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.
α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 2.5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 20이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 64을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “학생, 자전거”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.
카이제곱 적합도 검정으로 6개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²crit을(를) 구하세요.
답: P = 0.02275
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
답: x = 434.2 h
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
답: E = 6.316 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.
답: E = 4.002 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
답: t = −1.101
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
df = 12에서 양측 5% 임곗값은 2.179입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.
답: n = 396
검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.
답: r = 0.9572
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
답: x = 6.421
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
답: E = 27.33
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
답: χ²crit = 13.28
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.
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