통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 167.15에서 190.95 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 167.15x₂ = 190.95

P =

2.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

3.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 11, 표준편차는 s = 18.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 11x̄ = 11s = 18.590%t(10) = 1.812

상한 =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 6입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 6E = 299%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 73.43, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 73.43s = 5n = 49

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 500 대 H₁: μ < 500의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.10에서 실시한다. 표준 편차는 25로 알려져 있다. 실제 평균은 493.25이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 500μ = 493.25σ = 25n = 100α = 0.10

1 − β = %

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (7, 74)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(7, 74)

e =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “야간 근무, 중대한 결함”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 101열 합계 = 72N = 174

E =

10.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.9073

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (167.15 − 178)/7 = −1.55

z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85

사이의 넓이

P = Φ(1.85) − Φ(−1.55) = 0.9678 − 0.06057 = 0.9073

답

P = 0.9073

2.정규분포

답: x = 434.2 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

답

x = 434.2 h

3.신뢰구간

답: 상한 = 21.11

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 1.812

오차 한계

E = 1.812·18.5/√11 = 10.11

구간

11 ± 10.11 → [0.8927, 21.11]

답

상한 = 21.11

4.신뢰구간

답: n = 60

n에 대해 풀기

n = (2.576·6/2)² = 59.72

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 60

답

n = 60

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.198

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

검정통계량

t = (73.43 − 75)/0.7143 = −2.198

답

t = −2.198

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 92.19 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 25/√100 = 2.5

x̄_c = 500 − 1.282·2.5 = 496.8

참 평균에서의 z

z = (496.8 − 493.25)/2.5 = 1.418

전력

검정력 = P(Z < 1.418) = 92.19%

1 − β = 92.19%

답

1 − β = 92.19%

7.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9562

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 195/5 = 39

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 402

결정계수

r² = 124²/(40·402) = 0.9562

답

r² = 0.9562

y의 변동 중 약 95.62%가 직선으로 설명됩니다.

8.선형 회귀와 상관

답: e = −2.45

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 354/5 = 70.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

회귀직선

b = 226/40 = 5.65

a = 70.8 − 5.65·6 = 36.9

ŷ = 36.9 + 5.65·x

예측값

ŷ = 36.9 + 5.65·7 = 76.45

잔차

e = 74 − 76.45 = −2.45

답

e = −2.45

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

9.카이제곱 검정

답: E = 41.79

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 101·72/174 = 41.79

답

E = 41.79

10.카이제곱 검정

답: χ² = 33.92

기대 도수

공장 A: 70, 30

공장 B: 56, 24

공장 C: 28, 12

카이제곱 통계량

χ² = (89 − 70)²/70 + (11 − 30)²/30 + (47 − 56)²/56 + (33 − 24)²/24 + (18 − 28)²/28 + (22 − 12)²/12

χ² = 33.92

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

33.92 > 5.991

답

χ² = 33.92

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference