통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 9개의 총 질량이 226.5 kg 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9< 226.5 kg

P =

2.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 15%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점15%

x = 점

3.신뢰구간보통

항목 25개의 표본 평균은 93.5, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 25x̄ = 93.5s = 16.599%t(24) = 2.797

하한 =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 5E = 1.599%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 112.3, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 112.3s = 20n = 64

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 200 대 H₁: μ > 200의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 20로 알려져 있다. 실제 평균은 208.75이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 200μ = 208.75σ = 20n = 64α = 0.05

1 − β = %

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 4

ŷ =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 2402 × 2

χ² =

10.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 6개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 225 kg, σ_T = 0.5·√9 = 1.5 kg

표준화하기

z = (226.5 − 225)/1.5 = 1

확률

P = Φ(1) = 0.8413

답

P = 0.8413

2.정규분포

답: x = 84.4 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.15

표에서 구한 z

z ≈ −1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 100 − 1.04·15 = 84.4 점

답

x = 84.4 점

3.신뢰구간

답: 하한 = 84.27

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 24, t = 2.797

오차 한계

E = 2.797·16.5/√25 = 9.23

구간

93.5 ± 9.23 → [84.27, 102.7]

답

하한 = 84.27

4.신뢰구간

답: n = 74

n에 대해 풀기

n = (2.576·5/1.5)² = 73.73

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 74

답

n = 74

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.08

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

검정통계량

t = (112.3 − 120)/2.5 = −3.08

답

t = −3.08

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 96.82 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 20/√64 = 2.5

x̄_c = 200 + 1.645·2.5 = 204.1

참 평균에서의 z

z = (204.1 − 208.75)/2.5 = −1.855

전력

검정력 = P(Z > −1.855) = 96.82%

1 − β = 96.82%

답

1 − β = 96.82%

7.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.976

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 95/6 = 15.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 100.8

결정계수

r² = −41.5²/(17.5·100.8) = 0.976

답

r² = 0.976

y의 변동 중 약 97.6%가 직선으로 설명됩니다.

8.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 26.35

평균

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 164/5 = 32.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

회귀직선

b = 86/40 = 2.15

a = 32.8 − 2.15·7 = 17.75

ŷ = 17.75 + 2.15·x

예측

ŷ = 17.75 + 2.15·4 = 26.35

답

ŷ = 26.35

9.카이제곱 검정

답: χ² = 1.077

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

신약: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66

위약: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66

카이제곱 통계량

χ² = (50 − 54)²/54 + (70 − 66)²/66 + (58 − 54)²/54 + (62 − 66)²/66

χ² = 1.077

답

χ² = 1.077

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

10.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 11.07

자유도

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

표

χ²_crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

답

χ²_crit = 11.070

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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