공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 490에서 508 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 60대, 평균 129 h, 알려진 표준 편차 12 h. 모델 2: 휴대전화 80대, 평균 128 h, 알려진 표준 편차 6 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.
예비 연구에 따르면 제품의 약 0.15이(가) 불량이다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.05이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?
학생 100명 표본의 평균 점수는 201.8, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
H₀: μ = 200 대 H₁: μ < 200의 단측 z 검정을 표본 크기 36, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 18로 알려져 있다. 실제 평균은 196.4이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4일 때 ŷ을(를) 예측하세요.
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “농촌, 중간”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.
행 2개, 열 3개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?
답: P = 0.178
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
답: P = 0.7881
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
답: 상한 = 3.777 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.
답: n = 196
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
답: t = 1.2
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
답: 1 − β = 32.82 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
답: r = 0.971
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
답: ŷ = 57.25
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
답: E = 27.13
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
답: df = 2
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
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