통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 26에서 41.3 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 41.3

P =

2.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

3.신뢰구간보통

항목 10개의 표본 평균은 116.5, 표준편차는 s = 9.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 10x̄ = 116.5s = 9.595%t(9) = 2.262

상한 =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 23입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 23E = 1.595%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 195.6, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 195.6s = 10n = 49

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 50 대 H₁: μ > 50의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 8로 알려져 있다. 실제 평균은 52.1이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 50μ = 52.1σ = 8n = 64α = 0.05

1 − β = %

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 4.5

ŷ =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “도시, 높음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 83열 합계 = 54N = 133

E =

10.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 4개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 4

df =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.7808

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (41.3 − 32)/6 = 1.55

사이의 넓이

P = Φ(1.55) − Φ(−1) = 0.9394 − 0.1587 = 0.7808

답

P = 0.7808

2.정규분포

답: x = 565.8 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h

답

x = 565.8 h

3.신뢰구간

답: 상한 = 123.3

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 9, t = 2.262

오차 한계

E = 2.262·9.5/√10 = 6.795

구간

116.5 ± 6.795 → [109.7, 123.3]

답

상한 = 123.3

4.신뢰구간

답: n = 904

n에 대해 풀기

n = (1.96·23/1.5)² = 903.2

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 904

답

n = 904

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.08

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

검정통계량

t = (195.6 − 200)/1.429 = −3.08

답

t = −3.08

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 67.54 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 50 + 1.645·1 = 51.65

참 평균에서의 z

z = (51.65 − 52.1)/1 = −0.455

전력

검정력 = P(Z > −0.455) = 67.54%

1 − β = 67.54%

답

1 − β = 67.54%

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9845

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 424/6 = 70.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 793.3

상관계수

r = 116/√(17.5·793.3) = 0.9845

답

r = 0.9845

8.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 14.66

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 107/6 = 17.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55.5

회귀직선

b = −55.5/17.5 = −3.171

a = 17.83 − (−3.171)·3.5 = 28.93

ŷ = 28.93 − 3.171·x

예측

ŷ = 28.93 + (−3.171)·4.5 = 14.66

답

ŷ = 14.66

9.카이제곱 검정

답: E = 33.7

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 83·54/133 = 33.7

답

E = 33.7

10.카이제곱 검정

답: df = 2

자유도

df = 4 − 1 − 1 = 2

답

df = 2

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