통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 176.25에서 186.75 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 176.25x₂ = 186.75

P =

2.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 40%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점40%

x = 점

3.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 83, 표준편차는 s = 3입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 11x̄ = 83s = 390%t(10) = 1.812

E =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 17입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 17E = 390%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 80개 표본의 평균 길이는 128 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 3 mm이다. 라인 2: 부품 60개 표본의 평균은 125 mm, 알려진 표준 편차는 8 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 80x̄₁ = 128 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 60x̄₂ = 125 mmσ₂ = 8 mm

z =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 80 대 H₁: μ > 80의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 20로 알려져 있다. 실제 평균은 86이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 80μ = 86σ = 20n = 64α = 0.05

1 − β = %

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (9, 22)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(9, 22)

e =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “학생, 버스”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 75열 합계 = 39N = 158

E =

10.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2403 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.4931

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (176.25 − 178)/7 = −0.25

z₂ = (186.75 − 178)/7 = 1.25

사이의 넓이

P = Φ(1.25) − Φ(−0.25) = 0.8944 − 0.4013 = 0.4931

답

P = 0.4931

2.정규분포

답: x = 67.5 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.6

표에서 구한 z

z ≈ 0.25

원래 단위로 되돌리기

x = 65 + 0.25·10 = 67.5 점

답

x = 67.5 점

3.신뢰구간

답: E = 1.639

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 1.812

오차 한계

E = 1.812·3/√11 = 1.639

답

E = 1.639

4.신뢰구간

답: n = 87

n에 대해 풀기

n = (1.645·17/3)² = 86.89

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 87

답

n = 87

5.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 2.763

가설 검정: 검정 통계량 = (추정값 − H₀에서의 값)/(H₀에서의 표준 오차). p값은 H₀가 참이라고 가정할 때 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 통계량이 나올 확률입니다. 단측 H₁이면 한쪽 꼬리의 면적, 양측 H₁이면 꼬리 면적의 두 배입니다. p ≤ α이면 H₀를 기각합니다.

차의 표준 오차

SE = √(3²/80 + 8²/60) = √1.179 = 1.086

검정통계량

z = (128 − 125)/1.086 = 2.763

답

z = 2.763

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 77.49 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 20/√64 = 2.5

x̄_c = 80 + 1.645·2.5 = 84.11

참 평균에서의 z

z = (84.11 − 86)/2.5 = −0.755

전력

검정력 = P(Z > −0.755) = 77.49%

1 − β = 77.49%

답

1 − β = 77.49%

7.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9913

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 124/6 = 20.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 127.3

결정계수

r² = −47²/(17.5·127.3) = 0.9913

답

r² = 0.9913

y의 변동 중 약 99.13%가 직선으로 설명됩니다.

8.선형 회귀와 상관

답: e = 5.271

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 81/6 = 13.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

회귀직선

b = 113/70 = 1.614

a = 13.5 − 1.614·7 = 2.2

ŷ = 2.2 + 1.614·x

예측값

ŷ = 2.2 + 1.614·9 = 16.73

잔차

e = 22 − 16.73 = 5.271

답

e = 5.271

점이 직선 위쪽에 있습니다.

9.카이제곱 검정

답: E = 18.51

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 75·39/158 = 18.51

답

E = 18.51

10.카이제곱 검정

답: χ² = 3.222

기대 도수

1라인: 24, 56

2라인: 30, 70

3라인: 18, 42

카이제곱 통계량

χ² = (26 − 24)²/24 + (54 − 56)²/56 + (24 − 30)²/30 + (76 − 70)²/70 + (22 − 18)²/18 + (38 − 42)²/42

χ² = 3.222

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

3.222 < 5.991

답

χ² = 3.222

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference