통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 244.25에서 252.5 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 244.25x₂ = 252.5

P =

2.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 90%가 그 아래에 있는 값 x(90 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 90%

x = 점

3.신뢰구간보통

항목 30개의 표본 평균은 38, 표준편차는 s = 14.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 30x̄ = 38s = 14.599%t(29) = 2.756

E =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 11입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 11E = 299%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 47.43, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 47.43s = 10n = 49

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 16개의 표본 평균은 71.8입니다. 모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 71.8σ = 10n = 1690%

U =

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 113Σx² = 55Σy² = 2629Σxy = 313

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3.5, 21)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(3.5, 21)

e =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 2

χ² =

10.카이제곱 검정어려움

행 4개, 열 4개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

4 × 4

df =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.5664

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (244.25 − 250)/5 = −1.15

z₂ = (252.5 − 250)/5 = 0.5

사이의 넓이

P = Φ(0.5) − Φ(−1.15) = 0.6915 − 0.1251 = 0.5664

답

P = 0.5664

2.정규분포

답: x = 119.2 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

다시 x로

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 점

답

x = 119.22 점

3.신뢰구간

답: E = 7.296

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 29, t = 2.756

오차 한계

E = 2.756·14.5/√30 = 7.296

답

E = 7.296

4.신뢰구간

답: n = 201

n에 대해 풀기

n = (2.576·11/2)² = 200.7

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 201

답

n = 201

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.799

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

검정통계량

t = (47.43 − 50)/1.429 = −1.799

답

t = −1.799

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 75.91

오차 한계

E = 1.645·10/√16 = 4.112

구간 끝값

U = 71.8 + 4.112 = 75.91

답

U = 75.91

7.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9481

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 313 − 15·113/5 = −26

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2629 − 113²/5 = 75.2

상관계수

r = −26/√(10·75.2) = −0.9481

답

r = −0.9481

8.선형 회귀와 상관

답: e = −3.05

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 125/5 = 25

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

회귀직선

b = −19/10 = −1.9

a = 25 − (−1.9)·3 = 30.7

ŷ = 30.7 − 1.9·x

예측값

ŷ = 30.7 + (−1.9)·3.5 = 24.05

잔차

e = 21 − 24.05 = −3.05

답

e = −3.05

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

9.카이제곱 검정

답: χ² = 2.344

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 120·56/160 = 42, 120·104/160 = 78

비흡연자: 40·56/160 = 14, 40·104/160 = 26

카이제곱 통계량

χ² = (38 − 42)²/42 + (82 − 78)²/78 + (18 − 14)²/14 + (22 − 26)²/26

χ² = 2.344

답

χ² = 2.344

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

10.카이제곱 검정

답: df = 9

자유도

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

답

df = 9

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