통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.0170이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.0170

z =

2.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 99%가 그 아래에 있는 값 x(99 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3.신뢰구간보통

항목 6개의 표본 평균은 35, 표준편차는 s = 3.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 6x̄ = 35s = 3.599%t(5) = 4.032

상한 =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 5E = 1.599%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 196.4, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 196.4s = 10n = 25

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 16개의 표본 평균은 499.9입니다. 모표준편차는 4입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 499.9σ = 4n = 1699%

L =

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 21을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 21

x =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 2

χ² =

10.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 9개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.정규분포

답: z = 2.12

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.0170 = 0.9830

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9830을 찾아 z를 읽으세요.

z = 2.12

답

z = 2.12

2.정규분포

답: x = 45.96 min

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

다시 x로

x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min

답

x = 45.96 min

3.신뢰구간

답: 상한 = 40.76

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 5, t = 4.032

오차 한계

E = 4.032·3.5/√6 = 5.761

구간

35 ± 5.761 → [29.24, 40.76]

답

상한 = 40.76

4.신뢰구간

답: n = 74

n에 대해 풀기

n = (2.576·5/1.5)² = 73.73

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 74

답

n = 74

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

검정통계량

t = (196.4 − 200)/2 = −1.8

답

t = −1.8

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 497.3

오차 한계

E = 2.576·4/√16 = 2.576

구간 끝값

L = 499.9 − 2.576 = 497.3

답

L = 497.3

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9765

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 681/6 = 113.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2758

상관계수

r = 429/√(70·2758) = 0.9765

답

r = 0.9765

8.선형 회귀와 상관

답: x = 3.807

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 130/6 = 21.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

회귀직선

b = −38/17.5 = −2.171

a = 21.67 − (−2.171)·3.5 = 29.27

ŷ = 29.27 − 2.171·x

x 구하기

x = (21 − 29.27)/(−2.171) = 3.807

답

x = 3.807

9.카이제곱 검정

답: χ² = 4.8

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 40·80/160 = 20, 40·80/160 = 20

비흡연자: 120·80/160 = 60, 120·80/160 = 60

카이제곱 통계량

χ² = (14 − 20)²/20 + (26 − 20)²/20 + (66 − 60)²/60 + (54 − 60)²/60

χ² = 4.8

답

χ² = 4.8

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

10.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 18.48

자유도

df = 9 − 1 − 1 = 7

표

χ²_crit(df = 7, α = 0.01) = 18.475

답

χ²_crit = 18.475

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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