통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

상자의 질량은 독립이며 평균 12 kg, 표준편차 0.8 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 5개의 총 질량이 61.8 kg 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 5< 61.8 kg

P =

2.정규분포어려움

한 집단에서 남성의 키 X와 여성의 키 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 180 cm, 표준편차 10 cm이고 Y는 평균 170 cm, 표준편차 12 cm입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3.신뢰구간보통

항목 10개의 표본 평균은 119.5, 표준편차는 s = 6입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 10x̄ = 119.5s = 695%t(9) = 2.262

상한 =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 19입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 4 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 19E = 495%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 50.84, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 50.84s = 12n = 100

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 100 대 H₁: μ < 100의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 24로 알려져 있다. 실제 평균은 91.3이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 100μ = 91.3σ = 24n = 64α = 0.01

1 − β = %

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 95을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 95

x =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “도시, 낮음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 56열 합계 = 35N = 164

E =

10.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.8438

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 60 kg, σ_T = 0.8·√5 = 1.789 kg

표준화하기

z = (61.8 − 60)/1.789 = 1.01

확률

P = Φ(1.01) = 0.8438

답

P = 0.8438

2.정규분포

답: P = 0.7389

차의 분포

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

표준화하기

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

확률

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

답

P = 0.7389

3.신뢰구간

답: 상한 = 123.8

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 9, t = 2.262

오차 한계

E = 2.262·6/√10 = 4.292

구간

119.5 ± 4.292 → [115.2, 123.8]

답

상한 = 123.8

4.신뢰구간

답: n = 87

n에 대해 풀기

n = (1.96·19/4)² = 86.68

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 87

답

n = 87

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.7

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

검정통계량

t = (50.84 − 50)/1.2 = 0.7

답

t = 0.7

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 71.7 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 100 − 2.326·3 = 93.02

참 평균에서의 z

z = (93.02 − 91.3)/3 = 0.574

전력

검정력 = P(Z < 0.574) = 71.7%

1 − β = 71.7%

답

1 − β = 71.7%

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9813

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 373/6 = 62.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1155

상관계수

r = 279/√(70·1155) = 0.9813

답

r = 0.9813

8.선형 회귀와 상관

답: x = 7.5

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 474/6 = 79

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

회귀직선

b = 140/17.5 = 8

a = 79 − 8·5.5 = 35

ŷ = 35 + 8·x

x 구하기

x = (95 − 35)/8 = 7.5

답

x = 7.5

9.카이제곱 검정

답: E = 11.95

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 56·35/164 = 11.95

답

E = 11.95

10.카이제곱 검정

답: χ² = 4.94

기대 도수

18–30세: 30, 30

31–50세: 20, 20

51세 이상: 50, 50

카이제곱 통계량

χ² = (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (25 − 20)²/20 + (15 − 20)²/20 + (51 − 50)²/50 + (49 − 50)²/50

χ² = 4.94

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

4.94 < 5.991

답

χ² = 4.94

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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