통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 8개의 총 질량이 198.6 kg 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8< 198.6 kg

P =

2.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 10%가 그 아래에 있는 값 x(10 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

3.신뢰구간보통

항목 6개의 표본 평균은 22.5, 표준편차는 s = 11입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 6x̄ = 22.5s = 1199%t(5) = 4.032

하한 =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 40입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 40E = 2.599%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 498, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 498s = 8n = 81

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 497.4입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 497.4σ = 20n = 4995%

U =

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 23을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 23

x =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1202 × 3

χ² =

10.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2603 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.1611

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

표준화하기

z = (198.6 − 200)/1.414 = −0.99

확률

P = Φ(−0.99) = 0.1611

답

P = 0.1611

2.정규분포

답: x = 448.7 h

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

다시 x로

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

답

x = 448.74 h

3.신뢰구간

답: 하한 = 4.393

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 5, t = 4.032

오차 한계

E = 4.032·11/√6 = 18.11

구간

22.5 ± 18.11 → [4.393, 40.61]

답

하한 = 4.393

4.신뢰구간

답: n = 1699

n에 대해 풀기

n = (2.576·40/2.5)² = 1699

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1699

답

n = 1699

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.25

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

검정통계량

t = (498 − 500)/0.8889 = −2.25

답

t = −2.25

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 503

오차 한계

E = 1.96·20/√49 = 5.6

구간 끝값

U = 497.4 + 5.6 = 503

답

U = 503

7.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9963

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 123/5 = 24.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 437.2

결정계수

r² = 132²/(40·437.2) = 0.9963

답

r² = 0.9963

y의 변동 중 약 99.63%가 직선으로 설명됩니다.

8.선형 회귀와 상관

답: x = 1.4

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 120/6 = 20

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

회귀직선

b = −25/17.5 = −1.429

a = 20 − (−1.429)·3.5 = 25

ŷ = 25 − 1.429·x

x 구하기

x = (23 − 25)/(−1.429) = 1.4

답

x = 1.4

9.카이제곱 검정

답: χ² = 3.798

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

학생: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28

교직원: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14

카이제곱 통계량

χ² = (18 − 16)²/16 + (31 − 36)²/36 + (31 − 28)²/28 + (6 − 8)²/8 + (23 − 18)²/18 + (11 − 14)²/14

χ² = 3.798

답

χ² = 3.798

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

10.카이제곱 검정

답: χ² = 1.719

기대 도수

공장 A: 48, 32

공장 B: 60, 40

공장 C: 48, 32

카이제곱 통계량

χ² = (46 − 48)²/48 + (34 − 32)²/32 + (65 − 60)²/60 + (35 − 40)²/40 + (45 − 48)²/48 + (35 − 32)²/32

χ² = 1.719

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

1.719 < 5.991

답

χ² = 1.719

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference