통계학 2: 추론 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 100.75에서 118.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 100.75x₂ = 118.75

P =

2.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

3.신뢰구간보통

항목 7개의 표본 평균은 101.5, 표준편차는 s = 11.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 7x̄ = 101.5s = 11.599%t(6) = 3.707

E =

4.신뢰구간어려움

모표준편차는 37입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 37E = 1.595%

n =

5.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 14명, 평균 점수 36, 표준 편차 8.5. 집단 2: 학생 7명, 평균 점수 44.1, 표준 편차 3.5. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 14x̄₁ = 36s₁ = 8.5n₂ = 7x̄₂ = 44.1s₂ = 3.5

t =

6.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 80.8입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 80.8σ = 15n = 4990%

L =

7.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 30Σy = 105Σx² = 220Σy² = 2677Σxy = 766

r =

8.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (4.5, 17)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(4.5, 17)

e =

9.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “교직원, 버스”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 77열 합계 = 47N = 189

E =

10.카이제곱 검정어려움

행 3개, 열 3개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

3 × 3

df =

3용액

1.정규분포

답: P = 0.3744

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (100.75 − 100)/15 = 0.05

z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25

사이의 넓이

P = Φ(1.25) − Φ(0.05) = 0.8944 − 0.5199 = 0.3744

답

P = 0.3744

2.정규분포

답: x = 172.1 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm

답

x = 172.11 cm

3.신뢰구간

답: E = 16.11

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 6, t = 3.707

오차 한계

E = 3.707·11.5/√7 = 16.11

답

E = 16.11

4.신뢰구간

답: n = 2338

n에 대해 풀기

n = (1.96·37/1.5)² = 2337

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 2338

답

n = 2338

5.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.397

가설 검정: 검정 통계량 = (추정값 − H₀에서의 값)/(H₀에서의 표준 오차). p값은 H₀가 참이라고 가정할 때 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 통계량이 나올 확률입니다. 단측 H₁이면 한쪽 꼬리의 면적, 양측 H₁이면 꼬리 면적의 두 배입니다. p ≤ α이면 H₀를 기각합니다.

합동 분산

s_p² = (13·8.5² + 6·3.5²)/19 = 53.3

s_p = 7.301

표준오차

SE = 7.301·√(1/14 + 1/7) = 3.38

검정통계량

t = (36 − 44.1)/3.38 = −2.397

답

t = −2.397

df = 19에서 양측 5% 임곗값은 2.093입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

6.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 77.27

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.645·15/√49 = 3.525

구간 끝값

L = 80.8 − 3.525 = 77.27

답

L = 77.27

7.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9898

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 766 − 30·105/5 = 136

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2677 − 105²/5 = 472

상관계수

r = 136/√(40·472) = 0.9898

답

r = 0.9898

8.선형 회귀와 상관

답: e = 2.15

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

회귀직선

b = −21/10 = −2.1

a = 18 − (−2.1)·3 = 24.3

ŷ = 24.3 − 2.1·x

예측값

ŷ = 24.3 + (−2.1)·4.5 = 14.85

잔차

e = 17 − 14.85 = 2.15

답

e = 2.15

점이 직선 위쪽에 있습니다.

9.카이제곱 검정

답: E = 19.15

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 77·47/189 = 19.15

답

E = 19.15

10.카이제곱 검정

답: df = 4

자유도

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

답

df = 4

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