공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 248.5에서 257.5 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
구멍 지름 D는 평균 25.05 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
항목 12개의 표본 평균은 119.5, 표준편차는 s = 1.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.
모표준편차는 17입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 100개 표본의 평균 길이는 112 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 13 mm이다. 라인 2: 부품 60개 표본의 평균은 115.8 mm, 알려진 표준 편차는 10 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.
α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 4단위 이동을 검정력 95%로 검출해야 한다. 표준 편차는 17이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 12을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.
행 3개, 열 3개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?
답: P = 0.5511
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
답: P = 0.9616
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
답: 하한 = 118.5
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
답: n = 196
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
답: z = −2.074
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
답: n = 285
검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.
답: r = 0.992
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
답: x = 3.003
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
답: χ² = 10
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.
답: df = 4
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference