구조역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.보의 지점 반력보통
P1​ = 55 kNP2​ = 15 kNABCRB​ = ?2 m6 m2 m

보는 A에 힌지, A에서 8 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RB을(를) 구하시오.

AB = 8 mAC = 10 mP1 = 55 kN 위치 2 mP2 = 15 kN 위치 10 m
RB = kN
2.보의 지점 반력어려움
w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m1 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 5 mP = 50 kN 위치 4 mw = 2 kN/m, 1부터 2 m까지
RB = kN
3.전단력과 휨 모멘트보통
M0​ = 40 kN·mAB4.5 m1.5 m

단순보의 A에서 x = 4.5 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 40 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mM0 = 40 kN·m 시계 방향, 위치 4.5 m
Mx = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 6 kN/mP = 25 kNAB단면3 m1 m

지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 25 kN 위치 3 mw = 6 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
ABBCACACB15 kN6 m5 m4 m

절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 6 m높이 = 4 mB는 A에서 5 m연직 하중 = 15 kN
FAB = kN
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB40 kN5 kN4 m3 m2 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 40 kN수평 하중 = 5 kN →
FBC = kN
7.보의 처짐보통
w = 8 kN/mP = 10 kNABδ4 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 10 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
P = 60 kNAB1.5 m1.5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 3 mP = 60 kN 위치 1.5 m
RB = kN
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 md = 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 65 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 65 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.보의 지점 반력

답: RB = 32.5 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

A에 대한 모멘트

반시계 방향을 양으로.

ΣMA = 0: RB·8 = 55·2 + 15·10
RB = 260/8 = 32.5 kN

연직 방향 평형

RA = 55 + 15 − 32.5 = 37.5 kN

답

RB = 32.5 kN
2.보의 지점 반력

답: RB = 40.6 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

w = 2 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m1 m2 m1 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, 작용점 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·4 + 2·1·1.5
RB = 203/5 = 40.6 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 40.6 = 11.4 kN

답

RB = 40.6 kN
3.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 10 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/6 = 6.667 kN (위쪽)
RA = −RB = −6.667 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 RA와 우력이 포함됩니다.

Mx = RA·a + M0 = −6.667·4.5 + 40 = 10 kN·m

답

Mx = 10 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 27.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·3 + 6·4·2
RB = 123/4 = 30.75 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 30.75 = 18.25 kN
w = 6 kN/mP = 25 kNABRA​ = 18.25RB​ = 30.75단면3 m1 m

x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 18.25·3 − 6·3·1.5 = 27.75 kN·m

답

Mx = 27.75 kN·m
5.트러스: 절점법

답: FAB = −4.002 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·5 → Cy = 12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12.5 = 2.5 kN

절점 A

모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.

sin α = 4/6.403 = 0.6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2.5/0.6247 = −4.002 kN

답

FAB = −4.002 kN (압축)
6.트러스: 절점법

답: FBC = −36.34 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 + 5·2 → Cy = 32.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 32.5 = 7.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −32.5/0.8944 = −36.34 kN

답

FBC = −36.34 kN (압축)
7.보의 처짐

답: δ = 41.17 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 10000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(3EI) = 10000·4000³/(3·1.14 × 10¹³) = 18.71 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 22.46 mm

더하기

δ = 18.71 + 22.46 = 41.17 mm

답

δ = 41.17 mm
8.보의 처짐

답: RB = 18.75 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·60/16 = 18.75 kN

답

RB = 18.75 kN
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 225 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/4200² = 224989 N = 225 kN

답

Pcr = 225 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 52.15 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 52.15 mm

답

d = 52.15 mm

확인: 세장비 KL/r는 161.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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