보의 지점 반력
- 평형
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 등분포 하중
- 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
- 모멘트
- M = F·d
방법
- 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
- 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
- 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
- ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.
구조역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
트러스: 절점법
- 절점법
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 단면법
- ΣM = 0 about a cut point
- 부재력
- 양수 = 인장, 음수 = 압축
방법
- 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
- 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
- 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
- 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.보의 지점 반력보통
단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.
L = 4 mP1 = 35 kN 위치 2 mP2 = 35 kN 위치 2.5 m
RA = kN
2.보의 지점 반력어려움
겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 3 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 8 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 7 m 떨어진 곳의 집중 하중 P, CD 전체의 등분포 하중 w이다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.
AC = 3 mAD = 8 mP = 40 kN 위치 7 mw = 8 kN/m, 3부터 8 m까지
MA = kN·m
3.전단력과 휨 모멘트보통
단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 10 mP1 = 50 kN 위치 5 mP2 = 65 kN 위치 6 m
Mmax = kN·m
4.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 40 kN 위치 1 mw = 10 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
5.트러스: 절점법보통
절점법으로 부재 AB의 부재력 FAB을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.
경간 = 5 m높이 = 3 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 10 kN
FAB = kN
6.트러스: 절점법어려움
절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.
경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 60 kN수평 하중 = 15 kN ←
FBC = kN
7.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 45 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 45 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.보의 지점 반력
답: RA = 30.63 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 35·2.5
RB = 157.5/4 = 39.38 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 39.38 = 30.63 kN
답
RA = 30.63 kN
2.보의 지점 반력
답: MA = 84 kN·m
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.
CD 부분
힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.
W = 8·5 = 40 kN 위치 2.5 m 에서 C
ΣMC = 0: RD·5 = 40·4 + 40·2.5
RD = 52 kN
VC = 80 − 52 = 28 kN
AC 부분
힌지력 VC는 AC에 아래로 작용합니다(CD에 대한 작용과 크기가 같고 방향이 반대).
RA = 28 = 28 kN
MA = 28·3 = 84 kN·m
답
MA = 84 kN·m
3.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 256 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
ΣMA = 0: RB·10 = 50·5 + 65·6
RB = 640/10 = 64 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 64 = 51 kN
각 하중 아래의 모멘트
각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.
아래 P1: M = RA·5 = 51·5 = 255 kN·m
아래 P2: M = RB·4 = 64·4 = 256 kN·m
최댓값
Mmax = 256 kN·m (아래 P2)
답
Mmax = 256 kN·m
4.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 45 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 10·4·2
RB = 120/4 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 30 = 50 kN
x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 50·1 − 10·1·0.5 = 45 kN·m
답
Mx = 45 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FAB = −8.433 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2 = 8 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8/0.9487 = −8.433 kN
답
FAB = −8.433 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FBC = −13.52 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 − 15·2 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 7.5 = 52.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.5547 = −13.52 kN
답
FBC = −13.52 kN (압축)
7.보의 처짐
답: δ = 32.14 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 32.14 mm
답
δ = 32.14 mm
8.보의 처짐
답: Ireq = 14.65 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·200000·13.89) = 1.465 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 14.65 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 14.65 × 10⁶ mm⁴
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 151.4 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151.4 kN
답
Pcr = 151.4 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 31.04 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 31.04 mm
답
d = 31.04 mm
확인: 세장비 KL/r는 128.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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